DM, ''Evolution d'un capital''

[LilaT]

Bonjour à tous! Je voudrais avoir confirmation pour les réponses de mon exercice svp:

On place un capital de 1000 euros sur un plan d'épargne à 6 % annuel. Le dernier jour de chaque année, on effectue en plus un versement supplémentaire de 100 euros.
Pour tout entier n, on note Cn le capital au bout de n années, en euros, ainsi :
C0= 1000 et C1= 1000+6/100*1000+100 = 1160.
1) a) Calculer C2; C3 et C4
b) écrire une relation de réccurence définissant la suite Cn.
2) Justifiez que la suite Cn est croissante
3) a l'aide de la calculatrice déterminer au bout de combien d'années le capital a doublé par rapport a sa valeur initial.

Voici mes réponses pour le moment:

1a- C2 = 1,06C1 + 100 = 1329.6
C3 = 1,06C2 + 100 = 1509,376
C4 = 1,06C3 + 100 = 1699.93856

1b- Cn + 1 = Cn + 0,06Cn + 100
= 1,06 Cn + 100

2- Je bloque ici !

Merci pour votre aide!

[spike0789]

Salut,

Pour tout n, Cn est positif (tu peux le démontrer rapidement par récurrence...) et avec la realtion que tu as écite : C(n+1)-C(n) = ?

Donc croissante ou décroissante ?

[LilaT]

Salut,

Pour tout n, Cn est positif (tu peux le démontrer rapidement par récurrence...) et avec la realtion que tu as écite : C(n+1)-C(n) = ?

Donc croissante ou décroissante ?

Croissante, mais je n'arrive justement pas à le justifier!!
Merci de ton aide!

[spike0789]

Tu écris : Cn + 1 = Cn + 0,06Cn + 100

Donc C(n+1)-C(n) = 0,06C(n) + 100

Comme C(n) est positif, alors 0,06*C(n) l'est et 0,06*C(n) + 100 aussi !

Donc C(n+1)-C(n)>0 et C(n) croissante!

Tout y était pourtant

[LilaT]

Tu écris : Cn + 1 = Cn + 0,06Cn + 100

Donc C(n+1)-C(n) = 0,06C(n) + 100

Comme C(n) est positif, alors 0,06*C(n) l'est et 0,06*C(n) + 100 aussi !

Donc C(n+1)-C(n)>0 et C(n) croissante!

Tout y était pourtant

aaaaaa oui en effet !
est-ce qu'il faut mettre par exemple (Cn+1) ou C(n+1) ou ca revient à la meme chose svp ?

par contre pour la 3) je bloque, parce que je ne fais pas faire comme à la question 1 jusqu'à temps que je dépose les 2000, si ?

[spike0789]

Tu mets le n+1 en indice.

Cn est arithmétique. Tu peux me donner sa formule explicite ? (cad Cn en fontion de n)

[LilaT]

Tu mets le n+1 en indice.

Cn est arithmétique. Tu peux me donner sa formule explicite ? (cad Cn en fontion de n)

Euh, Cn = a*n + b
c'est ça ?

[spike0789]

OK mais que vaut a? b?

[LilaT]

OK mais que vaut a? b?

Cn = 1160*n + 100
??
je ne pense pas que celà soit juste

[LilaT]

OK mais que vaut a? b?

?? tu es là

[chan79]

?? tu es là

Salut

n'est pas arithmétique

[spike0789]

re

En effet, ou avais-je la tête !! C(n) n'est pas du tout arithmétique. Tu peux expliciter C(n) mais comme ce n'est pas demandé, tu utilises ta calculatrice (ou un tableur) pour répondre à la question

[LilaT]

re

En effet, ou avais-je la tête !! C(n) n'est pas du tout arithmétique. Tu peux expliciter C(n) mais comme ce n'est pas demandé, tu utilises ta calculatrice (ou un tableur) pour répondre à la question

Comment dois-je faire avec une calculatrice ?

[LilaT]

heeeeeeelp :p

[spike0789]

Re
Tu as C(n + 1) = 1,06 Cn + 100

Il y a une méthode pour déterminer la formule explicite de C(n) :

Tu cherches le point fixe w de la suite, tel que w=1,06*w+100 => w= ?
Tu poses U(n)=C(n)-w
Tu montres que U(n) est géométrique (de raison 1,06) => Tu trouves donc l'expression de U(n) en fonction de n.
Comme C(n)=U(n)+w, tu as trouvé C(n).
Après tu trouves facilement la réponse à la 3.

Sinon tu calcules C(1), C(2), C(3),.... à la calculatrice jusqu'à ce que tu doubles le capital de départ. Tu trouveras donc la réponse.

La 2ème méthode est ce qu'on attend de toi dans cet exercice vu qu'on précise bien de trouver le résultat à la calculatrice. Mais la première est une méthode qui marche à tous les coups et qui permet d'expliciter une suite arithmético géométrique (suite définie par la relation de récurrence : U(n+1)=a*U(n)+b)