V.a indépendantes

[nedsrark]

Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide pour cet exercice car j'ai beaucoup de mal à appliquer les propriétés sur l'indépendance sur les v.a

Soit X : -> {-9,-8,..,-1};){1,...,9} telle que pour tout entier k satisfaisant on a :


On pose (je ne sais pas écrire la fonction indicatrice en latex)

(1) Déterminer la loi de la variable |X|
(2) Démontrer que les v.a |X| et Y sont indépendantes


Pour le (1) . Il s'agit de déterminer la famille de nombre P(X = xi)




(2) Je sais que pour montrer que deux v.a sont indépendantes il faut montrer que
= avec

mais comment calculer l'intersection de ces deux événements ?


Merci :happy3:

[arnaud32]

|X| est a valeur dans {1,...,9}
P(|X|=k)=0 si k<0
P(|X|=k)=P(X=k ou X=-k) sinon
...

[arnaud32]

P(|X|=k et Y=1) = P(X=k) = P(|X|=k)/2 (par def de Y, puis par le calcul de (1) )
P(|X|=k et Y=0) = ....

reste a calculer P(Y=1) et P(Y=0)

[nedsrark]

Merci pour la réponse.




Ca j'ai bien compris, si k <0, c'est l'évènement impossible et ça vaut 0.

Mais pourquoi :

?
C'est parce que c'est vrai quand Y=1, Y=2 etc ?

Après modification : j'ai écrit n'importe quoi je crois !
La v.a Y est à valeur dans {0,1} ce qui fait que P(Y=2) n'existe pas.. en fait je voyais mal les choses. Je pensais qu'il fallait prendre un et déterminer . Mais plutôt parce qu'avoir un élément de {1,..9} (car on prend la valeur absolue) et Y=1 correspond aux éléments qui sont dans l'ensemble {1,..,9}. Je me trompe pas ?

[nedsrark]

Une chose : ce n'est pas plutôt ?
Car l'image de |X| à 9 éléments et l'image de X en possède 18. D'où la division par 2. J'espère que je ne dis pas n'importe quoi..

Je trouve ceci :


On a :


Je pense que P(Y=0)=P(Y=1) puisqu'on prend également l'ensemble d'arriver de la v.a X.
Je réfléchis encore pour l'intersection de |X|=k et Y=0.

[arnaud32]

tu n'as pas fini le (1)
pour k positif

tu en deduis que

[arnaud32]

P(|X|=k et Y=1) = P(X=k) = P(|X|=k)/2 (par def de Y, puis par le calcul de (1) )
P(|X|=k et Y=0) = ....

Y=1 veut dire que X>0 donc que |X|=X
(|X|=k et Y=1) = (X=k)

[nedsrark]

Merci pour tes réponses !

Pour le (1) je viens de m'apercevoir que je n'ai pas répondu à la question : j'ai donné la loi de X, qui est par ailleurs, gentiment donné dans l'exercice pour justement trouver la loi de |X|..

Donc le (1), c'est bon c'est bien compris. P(|X|=k) = P(X=k U X=-k).

Maintenant c'est pour le (2)

J'hésite entre deux réponses : P(Y=1) = 9/9 = 1 (tous les éléments sont positifs) ou bien P(Y=1)=9/18=1/2 car je ne sais pas si on doit seulement voir l'ensemble {1,2...,9} ou bien l'union avec leur opposés respectifs. Mais je suis plutôt pour le second cas puisque l'ensemble d'arrivé de la v.a |X| est {1,..,9}.

et avec P(Y=1)=1 on a

car avoir k>0 et X<0 est un événement impossible. Avec P(Y=0)=0/9=0 , aucun élément < 0 dans l'ensemble {1,2...9}


Les v.a |X| et Y sont indépendantes. C'est ça ?

[arnaud32]

pour k>0
P(|X|=k et Y=1) = P(X=k) = P(|X|=k)/2 (par def de Y, puis par le calcul de (1) )
P(|X|=k et Y=0) = P(X=-k) = P(|X|=k)/2 (par def de Y, puis par le calcul de (1) )

reste a calculer 1=P(Y=1 ou Y=0)= P(Y=0)+P(Y=1)
or la loi de X est symetrique donc P(Y=0)=P(Y=1)
donc P(Y=0)=P(Y=1) =1/2

et

P(|X|=k et Y=1)=P(|X|=k)/2=P(|X|=k)*P(Y=1)
P(|X|=k et Y=0)=P(|X|=k)/2=P(|X|=k)*P(Y=0)

[nedsrark]

Merci j'ai bien saisi cette question 2. Finalement c'était bien P(Y=1)=P(Y=0)=1/2.. Mais la manière dont je voyais les choses était correct à ce propos non ? Probabilité uniforme avec . Pareil pour P(Y=0) avec X<0 et comme la valeur absolue est symétrique comme tu l'as précisé on a le même résultat.

Il y a une question (3) et (4) auxquelles je vais essayer d'apporter les réponses.

(3) Soit telle que et on suppose que X indépendante de Z.
XZ et Z sont-elles indépendantes ?

Je réfléchis sur la loi de XZ et je te donne ma réponse.

Merci

[arnaud32]

tu ne peux pas parler de card ici car ta loi n'est pas uniforme

[nedsrark]

Concernant la probabilité uniforme, je pensais qu'il s'agissait de la variable Y.

Pour la loi de XZ je trouve :


Les événements sont disjoints et étant donné que X et Z sont indépendantes on a :




Même raisonnement pour XZ=-1 et je trouve aussi 1/90.

Maintenant je n'arrive pas calculer ..

[arnaud32]

deja tu dois regarder P(XZ=k)

[nedsrark]

D'après la loi de XZ on peut dire :


X et Z sont indépendantes implique que XZ et Z sont indépendantes.

C'est ça ?

[arnaud32]

D'après la loi de XZ on peut dire :


X et Z sont indépendantes implique de XZ et Z sont indépendantes.

C'est ça ?

non

X prends ses valeurs dans {-9,...,-1,1,...,9} et Z dans {-1,1}
donc XZ prends ses valeurs dans {-9,...,-1,1,...,9}
pour k dans {-9,...,-1,1,...,9}
P(XZ=k)=P(XZ=k et Z=1) + P(XZ=k et Z=-1)
=P(X=k et Z=1) + P(X=-k et Z=-1)
=P(X=k)P(Z=1) + P(X=-k)P(Z=-1)
=2*|k|/90*1/2
=|k|/90

tu trouves bien que XZ a la meme loi que X


maintenat tu regardes
P(XZ=k et Z=1)=P(X=k et Z=1)=P(X=k)P(Z=1)=|k|/90*1/2

[nedsrark]

Ok pour la loi XZ. Je n'ai vu que que les cas 1 et -1 car je pensais qu'on prenait que l'intersection des deux ensembles d'arrivés.


Même chose pour Z=-1.
Les v.a sont indépendantes.
Seulement, on aurait pas pu directement utiliser la fait que XZ suit la même loi que X et étant donné que X et Z sont indé XZ et Z sont indé ?

Une petite question concernant Y, pourquoi on peut pas utiliser la probabilité uniforme ? C'est parce qu'il ne s'agit pas d'une expérience aléatoire ?

(4) XZ, Y et Z sont-elles indé ?

J'y réfléchis.

[arnaud32]

Seulement, on aurait pas pu directement utiliser la fait que XZ suit la même loi que X et étant donné que X et Z sont indé XZ et Z sont indé ?

c'est en general faux

[nedsrark]

J'arrive pas à calculer les intersections..



et ainsi de suite.
J'ai essayé en conditionnant (X=k et Y=0) et ça mène à rien.

[nedsrark]

J'ai réussi à transformer l'écriture :

Quand k>0






Même chose quand Z prend la valeur -1 :




Quand k<0








Donc la famille de v.a XZ, Y et Z n'est pas indépendante