Variables de Bernoulli indépendantes

[Wenneguen]

Bonjour,

j'ai deux variables de Bernoulli et définies sur le même espace probabilisé, et je veux montrer que si , alors et sont indépendantes. ( représente l'espérance).

Si je note , , et , je sais qu'on a et .

En revanche, que vaut ?

De plus, comment lier cette relation entre des espérances à la notion d'indépendance ?

Merci :we:

[Ben314]

Salut,
Pour que le produit XY des deux variable aléatoires X et Y ait un sens, il faut (évidement...) que ces variables aléatoires prennent des valeurs dans un ensemble où la notion de produit a un sens.
Par exemple si X est une v.a. représentant la couleur d'un truc tiré au hasard et Y une v.a. représentant la forme d'un truc tiré au hasard, j'ai peur qu'on ait du mal à définir XY (en tout cas, moi, je sais pas multiplier "jaune" par "carré"... :mur: )

Donc, ici, je soupçonne plus que fortement que tes deux variables aléatoires, elles prennent leur valeurs dans R, c'est à dire que a,b,c,d sont des réels (qui on le bon gout de pouvoir se multiplier entre eux).
Dans ce cas la variable XY, elle prend ses valeurs dans l'ensemble {ac,ad,bc,bd} avec des proba. respectives r1=P(X=a et Y=c) , r2=p(X=a et Y=d) , r3=p(X=b et Y=c) , r4=p(X=b et Y=d) [en supposant que ac,ad,bc,bd sont distincts]
Avec ça tu peut calculer E(XY) en fonction de r1, r2, r3, r4.

Puis, le but, pour montrer que X et Y sont indépendantes, c'est de montrer que
p(X=a et Y=c) = p(X=a) x p(Y=c) de même pour les 3 autres

Remarque 1 : en plus de l'hypothèse E(XY)=E(X)E(Y), il y a d'autres lien entre p,q d'un coté et r1,r2,r3,r4 de l'autre. A toi de les trouver...

Remarque 2 : Je sais pas si tes deux Bernouillis, c'est pas sous entendu qu'elles prennent leurs valeurs dans {0,1} : ça simplifie un peu les calculs...

[Ben314]

Salut,
Pour que le produit XY des deux variable aléatoires X et Y ait un sens, il faut (évidement...) que ces variables aléatoires prennent des valeurs dans un ensemble où la notion de produit a un sens.
Par exemple si X est une v.a. représentant la couleur d'un truc tiré au hasard et Y une v.a. représentant la forme d'un truc tiré au hasard, j'ai peur qu'on ait du mal à définir XY (en tout cas, moi, je sais pas multiplier "jaune" par "carré"... :mur: )

Donc, ici, je soupçonne plus que fortement que tes deux variables aléatoires, elles prennent leur valeurs dans R, et je soupçonnerais même que les deux valeurs qu'elle prennent sont 0 et 1 (il me semble que sinon, le résultat demandé est faux)
Dans ce cas la variable produit XY, elle prend aussi ces valeurs parmi 0x0, 0x1, 1x0 , 1x1, c'est à dire de nouveau dans l'ensemble {0,1}.
Tu note par exemple r la proba que XY=1 et évidement, p(XY=0)=1-r.
Avec ça tu peut tout calculer en fonction de p, q et r.

Aprés, le but, pour montrer que X et Y sont indépendantes, c'est de montrer que, quelque soient a et b dans {0,1}, on a :
p(X=a et Y=b) = p(X=a) x p(Y=b)

[Wenneguen]

Ok super je vois, merci beaucoup ! :we:

[mrif]

Salut,
Pour que le produit XY des deux variable aléatoires X et Y ait un sens, il faut (évidement...) que ces variables aléatoires prennent des valeurs dans un ensemble où la notion de produit a un sens.
Par exemple si X est une v.a. représentant la couleur d'un truc tiré au hasard et Y une v.a. représentant la forme d'un truc tiré au hasard, j'ai peur qu'on ait du mal à définir XY (en tout cas, moi, je sais pas multiplier "jaune" par "carré"... :mur: )

Par définition, une variable de Bernoulli prend ses valeurs dans {0;1}, donc le produit XY est bien défini.

[zygomatique]

Par définition, une variable de Bernoulli prend ses valeurs dans {0;1}, donc le produit XY est bien défini.

salut

non !!!

par définition une variable de Bernoulli a deux issues ...

et si on veut faire du calcul on les notes 0 et 1 comme les nombres ... tout autant qu'on pourrait les noter -1 et 1 ou encore et

[Sylviel]

Je ne suis pas d'accord zygomatique. Dans le grande majorité des cours et des références une variable de Bernoulli de param p prends la valeur 1 avec proba p et 0 avec proba 1-p. Sinon on ne peut pas s'en servir pour définir une loi binomiale comme somme de Bernoulli, on ne peut pas calculer son espérance, sa variance, sa fonction génératrice etc... :zen:

[zygomatique]

Je ne suis pas d'accord zygomatique. Dans le grande majorité des cours et des références une variable de Bernoulli de param p prends la valeur 1 avec proba p et 0 avec proba 1-p. Sinon on ne peut pas s'en servir pour définir une loi binomiale comme somme de Bernoulli, on ne peut pas calculer son espérance, sa variance, sa fonction génératrice etc... :zen:

une variable de Bernoulli est simplement une variable à deux issues (d'aucun les note succès et échec) !!!

maintenant pour la "cohérence des probabilités" et le confort des résultats il est plus simple de noter les issues 0 et 1 (par exemple comme tu le dit pour la variable comptage lorsque on répète une même expérience qui conduit à une loi binomiale) sinon il faudrait multiplier par un coefficient tous les résultats de base voire même que ça compliquerait plus de décrire le système ...

[Ben314]

Concernant l'ENORME et GRAVISSIME polémique concernant la définition d'une bernouilli, je tient à signaler HAUT ET FORT que [size=0]je n'ai absolument aucune opinion sur la question...[/size]

[zygomatique]

Concernant l'ENORME et GRAVISSIME polémique concernant la définition d'une bernouilli, je tient à signaler HAUT ET FORT que [size=0]je n'ai absolument aucune opinion sur la question...[/size]

si je comprends bien :: tu es ni pour, ni contre, bien au contraire !!!!

:ptdr:

[mrif]

une variable de Bernoulli est simplement une variable à deux issues (d'aucun les note succès et échec) !!!

maintenant pour la "cohérence des probabilités" et le confort des résultats il est plus simple de noter les issues 0 et 1 (par exemple comme tu le dit pour la variable comptage lorsque on répète une même expérience qui conduit à une loi binomiale) sinon il faudrait multiplier par un coefficient tous les résultats de base voire même que ça compliquerait plus de décrire le système ...

Il me semble que tu confonds épreuve et variable aléatoire.

L'épreuve de Bernoulli a 2 issues qu'on peut désigner par ce qu'on veut: {succès, echec}, {oui; non}, {jaune, carré}, ....

A cette épreuve on peut associer une variable aléatoire qui peut prendre ses valeurs dans n'importe quelle paire de R par exemple {-1;1}, {0;1}, {3;10}, .......

Mais la variable aléatoire de Bernoulli associée à une épreuve de Bernoulli prend ses valeurs dans {0,1}.