Somme et produit de 2 variables indépendantes de loi de Bernoulli

par **WildKangou** » 21 Juin 2015, 18:15

Bonjour à tous, après avoir longuement cherché ( en vain ) sur le net une aide pour mon exercice, je me tourne vers vous.

Voilà en fait je voudrais juste un renseignement pour pouvoir calculer une somme et un produit de 2 variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli.
Par exemple si j'ai X et Y. Comment trouver Z=X+Y et Z=XY.

Bien cordialement.

par **zygomatique** » 21 Juin 2015, 19:22

salut

X suit la loi de Bernoulli de paramètre p donc X prend les valeurs 0 et 1 avec les probabilités 1- p et p

Y ..................................................q donc Y ............................................. probabilités 1 - q et q

S = X + Y prend les valeurs 0, 1 et 2

P(S = 0) = P(X = 0 et Y = 0) = ....

....sachant que X et Y sont indépendantes ....

par **WildKangou** » 21 Juin 2015, 19:43

Re bonjour, tout d'abord merci pour ton aide rapide.

Donc si je suis bien le raisonnement;

P(S=0)= P(X =0 et Y=0)= (1-p)(1-q) = 1 - q - p +qp

Et si on suit cette logique on a donc :
P(S=1)= P(X=1 et Y=0) ou P(X=0 et Y=1) soit P(S=1)= p(1-q) + (1-p)q ?

par **zygomatique** » 21 Juin 2015, 20:04

oui ...

et vérifie que la somme fait 1 ...

par **WildKangou** » 21 Juin 2015, 20:14

Très bien merci beaucoup.
J'ai une dernière question cependant, quelle est la loi de S alors? Je veux dire, comment la déterminer et rédiger.

Merci d'avance.

par **zygomatique** » 21 Juin 2015, 20:31

la loi de S est simplement la détermination des P(S = k) ...

elle n'a pas de nom particulier ...

par contre si p = q alors S suit la loi binomiale B(2, p) ....

par **WildKangou** » 21 Juin 2015, 20:35

D'accord, merci beaucoup Zygomatique :)

par **WildKangou** » 22 Juin 2015, 19:41

Une dernière chose, si P(Y=k) = C n parmi k * p puissance k ( 1 -p ) puissance ( n - k ) avec k appartenant à (0,..,n)
Pour la somme, dois-je juste considérer les k=0 et k=1? Ou alors S prend les valeurs k et k+1?

par **Pseuda** » 22 Juin 2015, 19:56

WildKangou a écrit:Une dernière chose, si P(Y=k) = C n parmi k * p puissance k ( 1 -p ) puissance ( n - k ) avec k appartenant à (0,..,n)
Pour la somme, dois-je juste considérer les k=0 et k=1? Ou alors S prend les valeurs k et k+1?

Là tu considères que Y suit une loi binomiale de paramètres n et p. Pour la somme X+Y, tu ne peux pas considérer qu'une partie de la probabilité (2 évènements élémentaires sur n+1), il faut les considérer tous.

par **WildKangou** » 22 Juin 2015, 20:13

Hum.. Donc pour toutes les considérer, S = X + Y prend les valeurs 0, k et k+1?

par **Pseuda** » 22 Juin 2015, 22:05

WildKangou a écrit:Hum.. Donc pour toutes les considérer, S = X + Y prend les valeurs 0, k et k+1?

Si X suit une loi de Bernoulli, elle prend les valeurs 0 et 1. Si Y suit une loi binomiale, elle prend les valeurs 0 à n. Donc X+Y prend les valeurs 0 à n+1.

par **WildKangou** » 22 Juin 2015, 22:26

Ah d'accord excusez moi je me suis mal exprimé.
Et donc si on veut calculer l'espérance E(S) ca fait E(S)= E(X) + E(Y) ?
EDIT: j'ai trouvé finalement, merci beaucoup pour votre aide.

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