Equation différentielle d'ordre 2

[Chimiebiox]

Bonjour tout le monde, me voilà dans la panade car ayant été à l’hôpital je n'ai pas pu assister au cours correspondant à l'exercice que mon chargé de TD me demande de résoudre.

Voici l'énoncé qui me pose problème et le travail que j'ai pu réaliser pour l'instant:

On considère l'équation différentielle d'ordre 2 suivante : y''(t) + 4y'(t) + 3y'(t)=9t+6 (2)

1) Donnez l'équation homogène associée à (2). Donnez les solutions de cette équation homogène associée.

J'ai trouvé que l'équation homogène était y''(t) + 4y'(t) + 3y'(t)=0 mais je ne sais pas trouver les solutions.

2) En observant que le second membre est un polynome de degré 1 donnez une solution particulière de (2).
3) En déduire toutes les solutions de (2)


Évidement je ne vous demande pas de me donner les réponses sur un plateau d'argent mais simplement de me guider vers la résolution. Je ne connais aucune méthode peut être qu'un rappel de cours avec mini exemple me suffirait je ne sais pas :/ .
En espérant que vous pourrez filer un coup de main à un étudiant en chimie bio pas très doué en mathématiques.

[jlb]

On considère l'équation différentielle d'ordre 2 suivante : y''(t) + 4y'(t) + 3y(t)=9t+6 (2)

1) Donnez l'équation homogène associée à (2). Donnez les solutions de cette équation homogène associée.

J'ai trouvé que l'équation homogène était y''(t) + 4y'(t) + 3y(t)=0 mais je ne sais pas trouver les solutions.

L'idée c'est de trouver trouver deux solutions indépendantes sous la forme y(t)=exp(rt): tu dérives et tu trouves une équation à résoudre. L'ensemble des solutions est alors une combinaison linéaire des deux.


2) En observant que le second membre est un polynome de degré 1 donnez une solution particulière de (2).

tu balances dans l'équation une équation sous forme particulière (là, c'est sous entendu) y(t)=at+b
et tu identifies tes coefficients

3) En déduire toutes les solutions de (2)
L'équation complète s'écrit solution générale de l'équation homogène + la solution particulière

[nansyann]

Pour trouver les solutions de ton équation homogène, il faut se ramener au polynôme caractéristique et trouver ses racines.
Ici le polynôme caractéristique associé à (E hom) est x²+4x+3=0
Trois cas sont possible suivant le signe du discriminant que je note d :
si d>0, on a deux solutions a et b et les solutions de E hom sont les fonctions de la forme :
y(t)=C*exp(at)+D*exp(bt) où C et D sont des constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales,
si d=0, on on a une solutions double que je note a, et les solutions de E hom sont les fonctions de la forme :
y(t)=(Ct+D)*exp(at) où C et D sont les constantes
si d<0, on a deux solutions complexes conjuguées r=a+ib et r'=a-ib, les solutions de E hom sont les fonctions de la forme :
y(t)=(C cos (bt) + D sin (bt) ) * exp (at) où C et D sont des constantes à determiner.

[Chimiebiox]

Pour trouver les solutions de ton équation homogène, il faut se ramener au polynôme caractéristique et trouver ses racines.
Ici le polynôme caractéristique associé à (E hom) est x²+4x+3=0
Trois cas sont possible suivant le signe du discriminant que je note d :
si d>0, on a deux solutions a et b et les solutions de E hom sont les fonctions de la forme :
y(t)=C*exp(at)+D*exp(bt) où C et D sont des constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales,
si d=0, on on a une solutions double que je note a, et les solutions de E hom sont les fonctions de la forme :
y(t)=(Ct+D)*exp(at) où C et D sont les constantes
si d<0, on a deux solutions complexes conjuguées r=a+ib et r'=a-ib, les solutions de E hom sont les fonctions de la forme :
y(t)=(C cos (bt) + D sin (bt) ) * exp (at) où C et D sont des constantes à determiner.

Comment puis-he déterminer C et D ici ? Que sont mes conditions initiales ?

[nansyann]

Ici tu n'as pas de conditions initiales (on ne te les a pas donner), donc le mieux c'est de laisser C et D comme constantes.
Au moins tu donnes un ensemble de solution.

Remarque :
Les conditions initiales, aurait pu être y(0)=0 et y'(0)=2, dans ces cas là tu aurais eu à résoudre deux équations à deux inconnus afin de déterminer C et D.