Ln et probabilité

[Celia1111]

Bonjour, j'ai un problème dans un exercice de maths, voici le sujet:

f est une fonction définie sur [1;+inf[ par f(x) = k* (ln(x)/x). k désigne un nombre réel strictement positif.

1) Déterminer le limite en + inf de f
2) Dresse le tableau de variation de la fonction f
3) déduire que le fonction f admet un maximum en une valeur x indépendante de k

4) Déterminer la valeur de k pour laquelle f est une densité de proba sur l'intervalle [2;2e]
(remarque, onn pourra utiliser le fait qu'une primitive de la fonction g(x) = u'(x)(u(x))^n est de al forme G(x) = (1/n+1)*u(x)^n+1

5)X variable aléatoire ayant f pour densité de probabilité. Calculer, au centième près:
P(X<= e)
P(X> e)
P(X<= 4)

Voilà j'espère une aide très rapide merci d'avance.

1) Limite en + inf, je trouve 0+ pour ln/x
Mais vu qu'on multiplie par k, la limite reste t-elle 0 ou cela devient k ?

2) Pour faire le tableau de variation, il faut que j'étudie le signe de f' puis je déduit les variation, je déduit ensuite le signe de f puis ces variation.
Ou je peux le faire directement sans dériver avec la fonction.

Si oui je dérive, utilisons nous la u'v+uv' ou u'v-uv' / v² ?

Pour le reste, je sais pas comment faire pour l'instant.

[Manny06]

Bonjour, j'ai un problème dans un exercice de maths, voici le sujet:

f est une fonction définie sur [1;+inf[ par f(x) = k* (ln(x)/x)

1) Déterminer le limite en + inf de f
2) Dresse le tableau de variation de la fonction f
3) déduire que le fonction f admet un maximum en une valeur x indépendante de k

4) Déterminer la valeur de k pour laquelle f est une densité de proba sur l'intervalle [2;2e]
(remarque, onn pourra utiliser le fait qu'une primitive de la fonction g(x) = u'(x)(u(x))^n est de al forme G(x) = (1/n+1)*u(x)^n+1

5)X variable aléatoire ayant f pour densité de probabilité. Calculer, au centième près:
P(X e)
P(X0

Pour le reste, je sais pas comment faire pour l'instant.

1) Limite en + inf, je trouve 0+ pour ln/x
Mais vu qu'on multiplie par k, la limite reste t-elle 0 ou cela devient k ? k*0=0

2) Pour faire le tableau de variation, il faut que j'étudie le signe de f' puis je déduit les variation, je déduit ensuite le signe de f puis ces variation.
Ou je peux le faire directement sans dériver avec la fonction.

Si oui je dérive, utilisons nous la u'v+uv' ou u'v-uv' / v² ?

Pour le reste, je sais pas comment faire pour l'instant.

[Celia1111]

Ok, donc c'était bien bon pour la 1.

Pour dresser son tableau, je dois bien la dérivé ou on peut le faire directement

[Celia1111]

Car ln(x)/x de 1 à +infini, c'est toujours 0+

En gros, la variation est décroissante de 1 à +infini

[Manny06]

Car ln(x)/x de 1 à +infini, c'est toujours 0+

En gros, la variation est décroissante de 1 à +infini

Non
de plus ça dépend du signe de k

[Celia1111]

Oups on me dit dans l'énonce que k désigne un nombre réel strictement positif

[Celia1111]

Une aide svp ?

[Manny06]

Une aide svp ?

si k>0
la dérivée est k(1-lnx)/x²
qui a le signe de 1-lnx

[Archibald]

1) tu as bien utilisé le théorème des croissances comparées (l'exponentielle l'emporte sur la puissance qui l'emporte sur le logarithme...). k étant un réel, multiplié par zéro, ça donnera toujours zéro.

2) il faut apprendre ses formules de dérivation. Ici, ta fonction est du type U/V, avec U(x) = ln(x) et V(x) = x. Or, (U/V)' = ... (regarde ton cours)
L'étude du signe de la dérivée te permettra de connaître le sens de variation de la fonction f.

3) regarde ton tableau de variation. Je suppose que tu sais ce qu'est un maximum.

4) f(x) = k* (ln(x)/x), or ln'(x)=1/x, donc f(x) est du type k*u'(x)*u(x). Il ne te reste plus qu'à conclure sur sa primitive.

5) simples calculs...

[Celia1111]

Voilà, il me reste plus que la question 5.

Pour la 4, j'ai k= 2/ 2ln(2) + 1

On fait comment déjà pour calculer les proba ?

[Celia1111]

Une aide ?