Exercice produit scalaire

[Liio]

Je bloque sur un exercice pour un DM sur les produits scalaires, niveau 1ère S, j'aurai besoin d'aide :


Montrer que l'ensemble T1 des points M tels que MA . MB = 3 et l'ensemble T2 des points M tels que (ce ne sont pas des vecteurs) MA² + MB² = 10 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Merci d'avance !

[titine]

MA² + MB² = 10
MA² = vec(MA) . vec(MA) = (vec(MI) + vec(IA))² = MI² + IA² + 2 vec(MI) . vec(IA)
De même :
MB² = MI² + IB² + 2 vec(MI) . vec(IB)
Donc :
MA² + MB² = MI² + IA² + 2 vec(MI) . vec(IA) + MI² + IB² + 2 vec(MI) . vec(IB)
= 2MI² + IA² + IB² + 2 vec(MI) . (vec(IA) + vec(IB))
Si I est le milieu de [AB] alors :
vec(IA) + vec(IB = vec(0)
et IA² + IB² = (AB/2)² + (AB/2)² = 2(AB/2)² = AB²/2
Donc :
MA² + MB² = 2MI² + AB²/2 + 0
Donc : MA² + MB² = 10 donne : 2MI² + AB²/2 = 10
c'est à dire : 2MI² = 10 - AB²/2
MI² = 5 - AB²/4
MI = rac(5 - AB²/4)
Donc M appartient au cercle de centre I et de rayon rac(5 - AB²/4)

[Liio]

MA² + MB² = 10
MA² = vec(MA) . vec(MA) = (vec(MI) + vec(IA))² = MI² + IA² + 2 vec(MI) . vec(IA)
De même :
MB² = MI² + IB² + 2 vec(MI) . vec(IB)
Donc :
MA² + MB² = MI² + IA² + 2 vec(MI) . vec(IA) + MI² + IB² + 2 vec(MI) . vec(IB)
= 2MI² + IA² + IB² + 2 vec(MI) . (vec(IA) + vec(IB))
Si I est le milieu de [AB] alors :
vec(IA) + vec(IB = vec(0)
et IA² + IB² = (AB/2)² + (AB/2)² = 2(AB/2)² = AB²/2
Donc :
MA² + MB² = 2MI² + AB²/2 + 0
Donc : MA² + MB² = 10 donne : 2MI² + AB²/2 = 10
c'est à dire : 2MI² = 10 - AB²/2
MI² = 5 - AB²/4
MI = rac(5 - AB²/4)
Donc M appartient au cercle de centre I et de rayon rac(5 - AB²/4)

Et pour le premier ?

[titine]

Même idée. Décomposer :
vec(MA) . vec(MB) = (vec(MI) + vec(IA)) . (vec(MI) + vec(IB)) = .... (développer)