[DM] La racine carrée de 2 !

[WaylZHP]

[FONT=Tahoma]B[/FONT]onjour à toutes et à tous,

[FONT=Trebuchet MS]Actuellement en classe de troisième, j'ai un devoir maison à rendre d'ici la fin des vacances et il s'avère que j'ai quelques difficultés à faire ce DM.
J'ai commencé à réfléchir pour certaines questions mais sans succès...

Assez de blabla, je vous expose l'énoncé ainsi que les recherches que j'ai déjà faites :
[/FONT]

3 - Irrationalité de la racine carrée de 2

Toutes ces tentatives firent vaines, car il est aujourd'hui démontré que ce nombre r, dont le carré est égal à 2, ne peut pas être écrit sous la forme d'un nombre rationnel : On dit qu'il est irrationnel !!. C'est ce résultat que Pythagore voulut cacher à tout prix, pour ne pas voir son système philosophique mis à mal : la légende raconte même qu'un des disciples de Pythagore, nommé Hippase de Métaponte, fut noyé par ses codisciples pour avoir révélé ce secret au grand public !

En voici la démonstration ( basée sur la démonstration par l'absurde ) :
Suppossons que r est un rationnel, et donc que l'on peut écrire r sous la forme d'un quotient : r = a/b,
avec a et b entiers naturels non nuls premiers entre eux (la fraction a/b est dont supposée irréductible).

1. Montrer que a² = 2b² ; en déduire que a² est pair.

Mes recherches :

On sait que r² = 2 soit :

r = a/b

INDICE :-Produit en croix-


---------------------------

2. Completer le tableau suivant :

Le nombre a se termine par .. 0 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Le nombre a² se termine par ..

Je l'ai rempli sans difficulté.

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3. Déduire des questions précedentes que a est nécessairement un nombre pair.
---------------------------

4. Posons donc a = 2p avec p entier naturel. Déduire de la question 1 que b² est nécessairement un nombre pair, et donc que le b l'est aussi.

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5. En quoi ce dernier résultat est-il contradictoire avec notre supposition de départ? Conclure ...

---------------------------


[FONT=Tahoma]J[/FONT]e vous remercie d'avance !

[Frednight]

Pour la deuxième partie de ta question 1, faut chercher bien loin : comme , cela équivaut directement à dire que est un multiple de 2, et qu'il est donc divisible par ce nombre. Tu peux aussi dire que équivaut à , or étant un entier, aussi et donc est divisible par deux.

Pour la 3, tu peux le démontrer en partant des définitions des nombres pairs et impairs. Un nombre pair peut s'écrire sous la forme , étant un nombre entier; un nombre impair s'écrit en revanche sous la forme .
Un nombre entier forcément soit pair, soit impair, en calculant les carrés de ces deux cas de figure tu devrais te rendre compte de quelque chose.

[WaylZHP]

2eme partie du 1
INDICE :
Sachant que a²=2b² , Vous pouvez directement dire que a² est un multiple de 2 et est donc divisible par 2 car a²=2b² soit l'équivalent de a²/2=b².

Concluez ..

[Frednight]

Si j'ai bien compris, pour répondre à la deuxième partie de la question 1 :

Je dois dire que:
Sachant que a²=2b² , on peut directement dire que a² est un multiple de 2 et est donc divisible par 2 car a²=2b² soit l'équivalent de a²/2=b².

a est donc pair.

voilà c'est ça

[WaylZHP]

Merci,

Ensuite pour la question 3 :
3. Déduire des questions précédentes que a est nécessairement pair.

J'ai remarqué un truc, c'est que lorsque l'on multiplie par 2 le carrée d'un entier naturels (qu'il soit pair ou impair ) , on obtient toujours un chiffre pair

d'ou : a² = 2b²

et que a² est pair

J'avais vu quelques part que le carré d'un entier naturel est pair et inversement. Je me trompe peut être.
Mais il faut maintenant le démontrer et c'est la que je bloque...

[Frednight]

implique que
implique que

je te laisse faire le développement pour e nombre impair

[WaylZHP]

implique que
implique que

je te laisse faire le développement pour e nombre impair

[triumph59]

Bonjour,

As-tu trouvé la réponse à ton problème ?

[WaylZHP]

Bonjour,

As-tu trouvé la réponse à ton problème ?

J'en suis à la question 4 , c'est à dire celle là :

Posons donc a = 2p avec p entier naturel. Déduire de la question 1. que b² est nécessairement un nombre pair, et donc que le nombre b l'est aussi.

[triumph59]

Comment as-tu résolu la question 3 ?
La solution utilisant i = 2K+1 me semble bien compliquée et n'utilise pas les questions 1 et 2

[triumph59]

Merci,

Ensuite pour la question 3 :
3. Déduire des questions précédentes que a est nécessairement pair.

J'ai remarqué un truc, c'est que lorsque l'on multiplie par 2 le carrée d'un entier naturels (qu'il soit pair ou impair ) , on obtient toujours un chiffre pair

d'ou : a² = 2b²

et que a² est pair

J'avais vu quelques part que le carré d'un entier naturel est pair et inversement. Je me trompe peut être.
Mais il faut maintenant le démontrer et c'est la que je bloque...

Là tu étais bien parti ...a² est pair, un nombre est pair lorsqu'il est divisible par 2 et tu as du apprendre qu'un nombre est divisible par 2 si il se termine par 0,2,4,6 ou 8 ... regarde dans le tableau quand est-ce que a² est un nombre pair et par quoi se termine a dans ces cas là ?

[triumph59]

Regarde par quel chiffre se termine a lorsque est pair

exemple : si se termine par 0, a se termine par 0

... je te laisse continuer

[WaylZHP]

Regarde par quel chiffre se termine a lorsque est pair

exemple : si se termine par 0, a se termine par 0

... je te laisse continuer

Dans ce cas, si est pair, se termine soit par 0, 4, 16, 36, 64 etc.

si se termine par 4, a se termine par 2
si se termine par 16, a se termine par 4
si se termine par 36, a se termine par 6
si se termine par 64, a se termine par 8

[triumph59]

Dans ce cas, si est pair, se termine soit par 0, 4, 16, 36, 64 etc.

si se termine par 4, a se termine par 2
si se termine par 16, a se termine par 4
si se termine par 36, a se termine par 6
si se termine par 64, a se termine par 8

Tu peux simplifier encore en disant
si se termine par 0, a se termine par 0
si se termine par 4, a se termine par 2
si se termine par 6, a se termine par 4
si se termine par 6, a se termine par 6
si se termine par 4, a se termine par 8
Conclusion, n'est pair que lorsque a est pair, tout simplement !

[WaylZHP]

C'est vrai que c'est tout de suite plus simple.

Ainsi je peux m'attaquer à la question 4 :

Posons donc a = 2p avec p entier naturel. Déduire de la question 1 que b² est nécessairement un nombre pair, et donc que le b l'est aussi.

Ca donne :

Si je part de la question 1 :










Sachant que p est un entier naturel (= a ) et que , On peut dire que et est un multiple de 2 et donc divisible par 2 car soit l'équivalent de

est donc pair et que l'est aussi si et seulement si :

se termine par 0 alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 8

On en conclue que est pair lorsque l'est aussi.

Ce qui mène à la question 5 ensuite .. car on a vu que alors que à la question 4, on a démontrer que .

[triumph59]

C'est vrai que c'est tout de suite plus simple.

Ainsi je peux m'attaquer à la question 4 :



Ca donne :

Si je part de la question 1 :










Sachant que p est un entier naturel (= a ) et que , On peut dire que et est un multiple de 2 et donc divisible par 2 car soit l'équivalent de

est donc pair et que l'est aussi si et seulement si :

se termine par 0 alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 8

On en conclue que est pair lorsque l'est aussi.

Ce qui mène à la question 5 ensuite .. car on a vu que alors que à la question 4, on a démontrer que .

Une fois de plus, tu te compliques la vie ... tu sais que a²=2b² et à présent tu sais que a s'écrit sous la forme a=2p car a est un nombre pair
Il te suffit de remplacer a par 2p et l'égalité devient (2p)²=2b2 fait simplement le calcul 4p²=2b², en simplifiant 2p²=b² ou encore b²=2p² et tu retrouves une égalité similaire à celle de départ avec a²=2b² ... et sans refaire la demonstration (elle serait exactement la même) b est pair

J'attends ta conclusion pour le 5)

[WaylZHP]

Oui, j'ai tendance à chercher le petit bout x)

D'après la question, On sait que vaut ce qui donne :

(J'ai pas compris pourquoi tu as placé des parenthèse mais on arrive au final au même raisonnement ) qui pourrai se simplifier en ou encore qui ressemble à l'égalité de départ

est alors pair ainsi que si et seulement si :

se termine par 0 alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 8.

--------------

Ensuite pour la dernière question :

Selon la supposition de départ, peut s'écrire sous forme d'un quotient : a/b sachant que et sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux .
On a vu que et que est pair ainsi que son carré de même pour .
Or d'après la supposition de départ, et sont premiers entre eux, ce qui est contradictoire avec ce qu'on a démontré avec et qui sont tous les deux pairs.

Ajoutons aussi que cette égalité ne peut avoir lieu que si a est pair car si est impair son carré l'est aussi et ne peut être égal à qui est pair.

On en conclue que ne peut être écrit sous forme d'une fraction rationnelle irréductible.

[triumph59]

Oui, j'ai tendance à chercher le petit bout x)

D'après la question, On sait que vaut ce qui donne :

(J'ai pas compris pourquoi tu as placé des parenthèse mais on arrive au final au même raisonnement ) qui pourrai se simplifier en ou encore qui ressemble à l'égalité de départ

est alors pair ainsi que si et seulement si :

se termine par 0 alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 6, alors se termine par 0
se termine par 4, alors se termine par 8.

--------------

Ensuite pour la dernière question :

Selon la supposition de départ, peut s'écrire sous forme d'un quotient : a/b sachant que et sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux .
On a vu que et que est pair ainsi que son carré de même pour .
Or d'après la supposition de départ, et sont premiers entre eux, ce qui est contradictoire avec ce qu'on a démontré avec et qui sont tous les deux pairs.

Ajoutons aussi que cette égalité ne peut avoir lieu que si a est pair car si est impair son carré l'est aussi et ne peut être égal à qui est pair.

On en conclue que ne peut être écrit sous forme d'une fraction rationnelle irréductible.

J'ai précisé les parenthèses pour distinguer (2p)² et 2p2 !! au final si a et b sont pairs il serait possible de simplifier la fraction a/b en divisant a et b par 2 ... on a supposé que a/b était une fraction irreductible ... c'est donc contradictoire CQFD

[WaylZHP]

C'est tout de suite plus clair après avoir finir ce devoir maison que j'ai trouvé bien sympa !
Je vous remercie de votre aide qui m'a permis d'arriver jusqu'au bout juste à temps !

Merci à vous !