Aide pour DM sur la diagonalisation

[coeurdencre39]

Bonjour,
ce n'est pas mon habitude de solliciter de l'aide pour mon boulot, mais je suis vraiment perdue. Ca fait une semaine que je suis sur mon DM et je suis toujours bloquée a la 1ere question et quand je vois les quatre pages derrière ça me fait un peu paniquer...
Donc j'ai la matrice A = 1/6*(0 3 3
-4 6 4
-2 3 5)


je dois trouver les valeurs propres. Après de nombreuses heures de galère, j'ai trouvé 1/2 et 1/3. Je pense qu'il m'en manque une. Déjà, si quelqu'un peut confirmer qu'elles sont justes?
Ensuite je dois trouver une base du sous espace propre associé pour chacune des valeurs propres mais à chaque fois je trouve le sous espace nul !

J'espère que vous pourrez m'aider >< merci d'avance

[Nightmare]

Hello,

peux-tu montrer tes calculs sur les espaces propres?

[coeurdencre39]

Alors j'ai fait :
comme f(u)=a*u (avec a une des valeur propre) et u=(x,y,z)
alors d'après la matrice f(x)=1/6*(-4y-2z)=a*x puis pareil pour y et z
a partir de là j'obtiens un systeme, et quand je le résous, je trouve x=y=z=0, avec a=1/2 et 1/3

[Nightmare]

Tu appliques mal ta matrice.

Si u=(x,y,z), que vaut f(u) ?

[coeurdencre39]

f(u)=1/6*(-4y-2z, 3x+6y+3z,3x+4y+5z)

non? ou alors je m'embrouille vraiment depuis le debut^^

[Nightmare]

Tu lis la matrice dans le mauvais sens.

f(u)=1/6 (3y+3z, -4x+6y+4z, -2x+3y+5z)

[coeurdencre39]

Je trouve enfin un résultat cohérent merci beaucoup !
Par contre, il me manque encore une valeur propre, pour la suite j'ai réussi à me débrouiller sans, mais bon si quelqu'un pouvait m'aider à la trouver ><
J'ai réussi une partie des questions suivante, mais il reste encore une bonne feuille et demi de question, et je crois que j'aurai besoin d'aide encore une fois. Je reprendrai ça demain à tête reposée et viendrai demander un petit coup de main si besoin.

Encore merci :)

[Nightmare]

Pourquoi penses-tu qu'il te manque une valeur propre?

Edit : Cela dit effectivement il t'en manque une. Comment as-tu trouvé les deux premières?

[coeurdencre39]

La matrice est diagonalisable, puisqu'il est demandé de la diagonaliser à la question suivante. Et comme c'est une matrice 3x3 alors il y a 3 valeurs propres. Les deux premieres je les ai trouvées en étageant la matrice pour voir quand elle était non inversible, suivant la valeur du paramètre (lambda). Mais je tombe sur une équation du second degré et donc l'équation a deux solutions seulement...

[Nightmare]

Attention, une matrice diagonalisable n'a pas forcément autant de valeur propre que sa dimension!

Une matrice 3x3 peut très bien avoir 2 valeurs propres ou même 1 seule et être diagonalisable (par exemple, la matrice identité qui n'a qu'une seule valeur propre!)

Sinon, n'as-tu pas vu la notion de polynôme caractéristique?

[coeurdencre39]

Euh...si mais pas dans ce chapitre. Et je ne vois pas trop le rapport. Le polynôme caractéristique, mais de quoi?

[Nightmare]

Le polynôme caractéristique de la matrice, qui est det(A-X.id)

Sinon, qu'as-tu vu en cours comme méthode de calculs de valeurs propres?

[coeurdencre39]

En faisant A-Xid et en voyant dans quel cas la matrice était non inversible. Le coup du polynome annulateur est bien dans notre cours mais on n'a pas vraiment fait d'exemple... et sinon "reconnaitre" les valeurs propres évidentes.

[Nightmare]

La méthode d'évaluer l'inversibilité de A-Xid est exactement celle du polynôme caractéristique.

A-X.id est inversible si et ssi son déterminant est non nul. Tu peux donc calculer det(A-X.id) en fonction de X et regarder les X pour lequel il s'annule. Il s'avère que det(A-X.id) est un polynôme en X, ce qui facilite l'étude de ses racines.