Exercice sur les suites

[aymane]

Bonjour à tous, voila l'intitulé de mon exercie :

Soit (un) la suite réelle définie par récurrence en posant : u(n+1)=;)(1+un) pour n>0et u(0)=1.
1. Montrer que (un) est croissante et majorée par 2.
2. Montrer que (un converge vers le nombre réel positif t qui vérifie t²-t-1=0. Calculer explicitement t.

1. J'ai introduit la fonction f(x)=;)(1+x), et j'ai démontré, avec le calcul de la dérivée, que f(x) est croissante pour x supérieur ou égal à -1. De là, je ne sais comment prouver qu'elle est majorée par 2 : j'ai essayé la récurrence (avec P(n): Un ;) u(n+1) ;) 2) en vain, j'ai également essayé de trouver une fonction équivalente, sans aucun résultat. Pourriez vous m'aider ?

2. J'ai calculé le point fixe, f(t)=t soit f(t)-t=0. J'ai abouti au nombre d'or, ainsi (un) tend vers ce nombre.

En espérant que quelqu'un puisse et accepte de m'aider.
Cordialement

[Manny06]

Bonjour à tous, voila l'intitulé de mon exercie :

Soit (un) la suite réelle définie par récurrence en posant : u(n+1)=;)(1+un) pour n>0et u(0)=1.
1. Montrer que (un) est croissante et majorée par 2.
2. Montrer que (un converge vers le nombre réel positif t qui vérifie t²-t-1=0. Calculer explicitement t.

1. J'ai introduit la fonction f(x)=;)(1+x), et j'ai démontré, avec le calcul de la dérivée, que f(x) est croissante pour x supérieur ou égal à -1. De là, je ne sais comment prouver qu'elle est majorée par 2 : j'ai essayé la récurrence (avec P(n): Un u(n+1) 2) en vain, j'ai également essayé de trouver une fonction équivalente, sans aucun résultat. Pourriez vous m'aider ?

2. J'ai calculé le point fixe, f(t)=t soit f(t)-t=0. J'ai abouti au nombre d'or, ainsi (un) tend vers ce nombre.

En espérant que quelqu'un puisse et accepte de m'aider.
Cordialement

on montre d'abord que la suite est croissante donc un>=1
2-un+1=2-V(1+un)=[4-(1+un)]/[2+V(1+un)]
u00 donc Un+1<2

[othmanB]

on montre d'abord que la suite est croissante donc un>=1
2-un+1=2-V(1+un)=[4-(1+un)]/[2+V(1+un)]
u00 donc Un+1<2

pour montrer que est majoré par 2 c simple .
pour n=0 on a
par recurrence on va supposer que est on montre que
alors
alors

[othmanB]

pour montrer que est majoré par 2 c simple .
pour n=0 on a
par recurrence on va supposer que est on montre que
alors
alors

pour la 2ém queston
on a croissante est majoré alors la suite est convergente vert un element t

alors on va faire le caré

[aymane]

Je vous remercie beaucoup !!! :)