Racine d'un polynome P(X)

[ThekamikazeFou]

Bonjour, voila je bloque sur la compréhension d'un exercice corrigé.
le voici :
soit
avec m, n et p appartenant à N
est ce que A est divisible par

cherchons les racine de B(X)
on sait que B(J)=0 comment sait on cela?
avec
on a donc

on trouve alors et

donc A


pourquoi ?
enfait ce qui me bloque c'est pourquoi utilise t'on J ? comment sait on qu'on doit utiliser J ?

merci

[Doraki]

Tu n'as jamais appris à factoriser un polynôme de degré 2 ?
(X²+X+1) = (X + 1/2 + sqrt(-3)/2)(X + 1/2 - sqrt(-3)/2)

J c'est -1/2+sqrt(-3)/2 et tu peux vérifier que J² = -1/2-sqrt(-3)/2 et que J^3=1

[XENSECP]

Ce sont les racines "troisièmes" de l'unité... Quelque chose de classique mais rien t'empêche de recalculer ton delta etc ;)

[ThekamikazeFou]

Non mais tout cela je l'ai compris, mais comment sait t'on que l'on doit utiliser J?
Ce n'est pas évident à voir..
Merci de votre aide

[XENSECP]

Non mais tout cela je l'ai compris, mais comment sait t'on que l'on doit utiliser J?
Ce n'est pas évident à voir..
Merci de votre aide

Ta question n'a pas de sens au regard des deux précédents messages. j est une convention de matheux pour désigner la racine troisième de l'unité... Tu l'appelles toto si tu préfères :mur:

[Doraki]

Ben parceque tout polynôme unitaire à coefficients dans C a une factorisation unique en facteurs de degré 1 (de la forme (X-truc)).
Donc pour vérifier que (X²+X+1) = (X-J)(X-J²) divise ton polynôme A, il suffit de montrer que (X-J) et (X-J²) divisent A, c'est à dire que A(J) = A(J²) = 0.

[ThekamikazeFou]

Ta question n'a pas de sens au regard des deux précédents messages. j est une convention de matheux pour désigner la racine troisième de l'unité... Tu l'appelles toto si tu préfères

Tu n'avais pas compris ma question.. ^^'

Je pense que je m'exprime mal. En gros, quand sait on qu'un polynome P est divisble par J?
Dans mon exemple proposer c'est flagrant mais habituellement comment fait on pour savoir si J est racine de P? On essai?
Tout polynome de type (ax^2+bx+c) est divisible par J?

[Doraki]

Ben non, par exemple -1/2+sqrt(-3)/2 n'est pas une racine de X²+2X+3

[ThekamikazeFou]

Ok donc du coup on essai pour voir si c'est factorisable.. Pas trés pratique :)

[Doraki]

En l'occurence pour trouver les racines de X²+X+1 on résout l'équation X²+X+1=0.

[XENSECP]

Je quitte la conversation. Je n'arrive pas te comprendre ThekamikazeFou avec tes questions étranges...

[herr_mulle]

Non mais tout cela je l'ai compris, mais comment sait t'on que l'on doit utiliser J?
Ce n'est pas évident à voir..
Merci de votre aide

On a 3 nombres 1, X et X^2, la somme vaut 0
Fais un cercle de rayon 1, cela revient à y mettre 3 vecteurs, on découpe en 3 morceaux de camenbert égale,

le premier sur l'axe des abscice de valeur 1

or 1 est aussi exp(0)

soit X^0

le deuxième sera déphasé de 2pi/3, c'est X^1 (ou exp(j2.pi/3)=toto)

le troisième sera déphasé de 4pi/3 c'est X^2 (=toto^2)

Voilà l'explication graphique , et d'ailleurs c'est bizarre de l'appeler j, car j=exp(j.pi/2)

Vois-tu ? t'inquiètes on m'appelait aussi toto, maintenant Herr_Mulle est mon peudo.

[Doraki]

Faut que tu m'expliques comment tu fais pour montrer que si 3 nombres complexes z1 z2 z3 sont tels que z1+z2+z3 = 0 alors ils sont tous de même module et forment un triangle équilatéral de centre 0. Ou alors j'ai pas compris ton explication.

Et tu écris j à la place de i ? tu dois être un physicien.

[ThekamikazeFou]

mais je sais très bien ce que sont le racine enièm , et racine enième de l'unité...

on utilise i pour i²=-1 et j=exp(2iPi/3)
en physique i=j ne mélange pas Herr_Mulle :)

bref laissé tombé, j'ai simplement du mal a comprendre d'ou on sort le J dans ces équations, comment on arrive a trouver que J est une "racine évidente". Je vais chercher de mon coté, merci beaucoup :)

[herr_mulle]

Faut que tu m'expliques comment tu fais pour montrer que si 3 nombres complexes z1 z2 z3 sont tels que z1+z2+z3 = 0 alors ils sont tous de même module et forment un triangle équilatéral de centre 0. Ou alors j'ai pas compris ton explication.

Et tu écris j à la place de i ? tu dois être un physicien.

Parfois matheuse, physicienne ou carnavaleuse.

Alors j'explique
z1=1 ou le nombre complexe J^0
z2=J^1
z3=J^2

J=r.exp(i.theta)

comme J^0=1

et J^1=J

alors J^2=(r^2).exp(i.2.theta)

dans le plan complexe J^2 est déphasé de 2.theta........(je montre des directions, je ne trace pas la piste...)
.......

De même on peut généraliser avec la résolution de a^5+a^4+........a^1+1=0 .......

[XENSECP]

bref laissé tombé, j'ai simplement du mal a comprendre d'ou on sort le J dans ces équations, comment on arrive a trouver que J est une "racine évidente". Je vais chercher de mon coté, merci beaucoup

Si ce n'est pas évident pour toi, recalcule les racines du polynôme. Je vois pas où est le problème.

Nous autres savons (par notre côté physicien peut être) que j et j² sont les racines de X²+X+1 car c'est la définition même d'une racine nième mais bon tu peux refaire les démonstrations si c'est ça qui te bloque. Le corrigé est peu souvent en ligne avec les vraies connaissances et évidences de celui qui le lit...