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[RubixFreakGreg]

J'ai un exercice à faire pour la fin de la semaine, qui est un peu difficile vu que le prof nous a donné le cours mais ne nous à rien expliqué au préalable pour faire l'exo (et son cours est extrêmement mal structuré)...

NOTE: LES SYMBOLES [ ET ] SONT CEUX CI: http://upload.wikimedia.org/math/3/7/b/37bd9c76ab2b0bc92faf3e5592e3a983.png

Exercise 1
Let E be the vector space of polynomials with real coefficients and order less or
equal than 2
For any P and Q in E;
We pose
[P;Q] = P(-1)Q(-1) + P(0)Q(0) + P(1)Q(1)
(a) Prove that (E;[.,.]) is an inner product space
(b) From the canonic basis, build an orthonormal basis.
(c) Show that the set F = {P;)E | P(0) = P(1) = 0} is a subspace in E
Find its dimension,
build a basis and determine its orthogonal F


Traduction (je fais de mon mieux):
Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels d'ordre inférieur ou égal à deux
Pour tout P et Q de E, on pose:
[P;Q]=P(-1)Q(-1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1)
(a) Prouver que (E,[.,.]) est un espace préhilbertien (ou espace vectoriel réel)
(b) De la base canonique, construire une base orthonormale
(c) Montrer que l'ensemble F={P;)E | P(0) = P(1) = 0} en un sous espace de E, trouver sa dimension et contruisez une base et déterminal son orthogonal F.

Il faut partir sur le principe que je suis noté mais je ne sais rien du cours, qui est complètement incompréhensible, et sans exemples :/

Merci d'avance !

Greg

[Manny06]

J'ai un exercice à faire pour la fin de la semaine, qui est un peu difficile vu que le prof nous a donné le cours mais ne nous à rien expliqué au préalable pour faire l'exo (et son cours est extrêmement mal structuré)...

NOTE: LES SYMBOLES [ ET ] SONT CEUX CI: http://upload.wikimedia.org/math/3/7/b/37bd9c76ab2b0bc92faf3e5592e3a983.png

Exercise 1
Let E be the vector space of polynomials with real coefficients and order less or
equal than 2
For any P and Q in E;
We pose
[P;Q] = P(-1)Q(-1) + P(0)Q(0) + P(1)Q(1)
(a) Prove that (E;[.,.]) is an inner product space
(b) From the canonic basis, build an orthonormal basis.
(c) Show that the set F = {P;)E | P(0) = P(1) = 0} is a subspace in E
Find its dimension,
build a basis and determine its orthogonal F


Traduction (je fais de mon mieux):
Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels d'ordre inférieur ou égal à deux
Pour tout P et Q de E, on pose:
[P;Q]=P(-1)Q(-1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1)
(a) Prouver que (E,[.,.]) est un espace préhilbertien (ou espace vectoriel réel)
(b) De la base canonique, construire une base orthonormale
(c) Montrer que l'ensemble F={P;)E | P(0) = P(1) = 0} en un sous espace de E, trouver sa dimension et contruisez une base et déterminal son orthogonal F.

Il faut partir sur le principe que je suis noté mais je ne sais rien du cours, qui est complètement incompréhensible, et sans exemples :/

Merci d'avance !

Greg

tu dois démontrer que [p;q] est un produit scalaire
la symétrie est evidente
pour la bilinéarité utilise les propriétés d l'addition et du produit par un réel d'une fonction polynome
il te reste à demontrer que c'est defini positif ce qui n'est pas très compliqué

[RubixFreakGreg]

tu dois démontrer que [p;q] est un produit scalaire
la symétrie est evidente
pour la bilinéarité utilise les propriétés d l'addition et du produit par un réel d'une fonction polynome
il te reste à demontrer que c'est defini positif ce qui n'est pas très compliqué

Oui j'ai pu faire ca mais aux questions 2 et 3 je comprends même pas les énoncés et je dois rendre ca demain :/

[Manny06]

Oui j'ai pu faire ca mais aux questions 2 et 3 je comprends même pas les énoncés et je dois rendre ca demain :/

pour la base
tu as des polynomes du type
p(X)=aX²+bX+c la base canonique est (X²,X,1)
tu peux choisir
P1=c ensuite [P1,P1]=3c²=1 prendre c=1/V3
ensuite quand tu calcules [P;P1] tu trouves (a-b+c)*1/V3 +c*1/V3+(a+b+c)*1/V3 soit
(2a+3c)*1/V3
tu dois donc avoir 2a+3c=0
soit a=3k c=-2k
tu peux choisir P2=(3k,0,-2k) avec k tel que [P2;P2]=1 soit 6k²=1 donc par ex k=1/V6
il reste à choisir P3=(3k',b',-2k') de cette façon [P1;P3]=0
il faut donc [P2;P3]=0 soit 6kk'=0 donc k'=0 soit P3(0,b',0)
pour avoir [P3;P3]=1 soit 2b'²=1 on peut choisir b'=1/V2

essaie de remettre ça en forme

[Manny06]

pour la base
tu as des polynomes du type
p(X)=aX²+bX+c la base canonique est (X²,X,1)
tu peux choisir
P1=c ensuite [P1,P1]=3c²=1 prendre c=1/V3
ensuite quand tu calcules [P;P1] tu trouves (a-b+c)*1/V3 +c*1/V3+(a+b+c)*1/V3 soit
(2a+3c)*1/V3
tu dois donc avoir 2a+3c=0
soit a=3k c=-2k
tu peux choisir P2=(3k,0,-2k) avec k tel que [P2;P2]=1 soit 6k²=1 donc par ex k=1/V6
il reste à choisir P3=(3k',b',-2k') de cette façon [P1;P3]=0
il faut donc [P2;P3]=0 soit 6kk'=0 donc k'=0 soit P3(0,b',0)
pour avoir [P3;P3]=1 soit 2b'²=1 on peut choisir b'=1/V2

essaie de remettre ça en forme

ensuite pour la c)
P(X)=a(X²-X)

[RubixFreakGreg]

Merci !!! Exo fini !!

[Manny06]

Merci !!! Exo fini !!

bonne fin de semaine