Polynome caracteristique(problème résolu).

[yassine.s]

salut
soit E un espace euclidien de dimension n>=1.
soit u un endomorphisme de E et Pu(X) son polynome caracteristique .soit P un diviseur non constant de Pu.montrer que ker P(u) n'est pas réduit à {0}.merci beaucoup

[yassine.s]

une autre question:*
soit u un element de O(E).montrer que si F est stable par u alors orthogonal de F est aussi stable par u.merci beaucoup

[nuage]

Salut,
pour ta deuxième question ou je suppose que désigne l'ensemble des isométries de E.
On a donc
Or : F est stable par u
et

La conclusion me semble assez simple, mais je peut préciser.

A+

[yassine.s]

Salut,
pour ta deuxième question ou je suppose que désigne l'ensemble des isométries de E.
On a donc
Or : F est stable par u
et

La conclusion me semble assez simple, mais je peut préciser.

A+

c'est juste, merci

[ThSQ]

ker P(u) n'est pas réduit à {0}

C'est évident si Pcarac est scindé sinon il faut ruser un poil.

Pmin et Pcarac ont les mêmes facteurs irréductibles (Pmin divise Pcarac et en se mettant dans une extension ad-hoc où Pcarac est scindé on voit que Pcarac divise une puissance de Pmin). Il suffit donc de prendre un facteur irréductible Q de P qui divise donc aussi aussi Pmin. Nécessairement Ker Q(u) est non vide et contient Ker P(u).

[yassine.s]

pour la premiere question j'ai une indication : soit M une matrice representatrice de u dans une base B.si r est une racine (complexe) de P montrer que det(P(M)-r In)=0 et en deduire que P(M) n'est pas inversible

[Maxmau]

Bj

La matrice A de u admet n valeurs propres complexes: ;)1 , ;)2 , ……, ;)n
Le caractéristique de u est Pu(X)= (X - ;)1)(X- ;)2 )………..(X -;)n)
Pu(A) = (A - ;)1 I)(A- ;)2 I )………..(A –;)n I) est le produit de n matrices de determinant nul
Si P est un diviseur non constant de Pu , P(A) sera le produit de certaines de ces matrices d’où detP(A) = 0

[yassine.s]

Bj


Pu(A) = (A - 1 I)(A- 2 I )………..(A –;)n I) est le produit de n matrices de determinant nul

bonsoir.
c'est ca. merci