DM sur limites de suites

[supergrjuju]

Bonjour à tous !

J'espère que ce problème n'a pas déja été posté
J'aurai besoin d'aide et de conseils pour le résoudre je suis en terminale S et le thème est les limites de suites

Voici l'énoncé
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AB=AC=4
On partage ce triangle en 4triangles rectangles isocèles en joignant les milieux de deux cotés et on colore le triangle central
Comme précedemment chaque triangle non coloré est partagé à nouveau en 4 triangles rectangles isocèles et ainsi de suite ...

Pour tout entier naturel n non nul, on note :
Un le nombre de triangles colorès à la n-ième étape
Cn la longueur du coté adjacent à l'angle droit de chaque triangle coloré à la n-ième étape
An l'aire de la surface colorée à la n-ième etape
Sn l'aire de la surface colorée après n étapes

1. Quelle est la nature des suites (Un) et (Cn) ?
2. Exprimer An en fonction de Un et Cn
3 . A l'aide d'un tableur calculer les 20 premiers termes des suies Un, Cn, An, et Sn
4. Conjecturer la nature de la suite An et sa limite
5. a. Démontrer la nature de la suite An
b. En déduire l'expression de An puis celle de Sn en fonction de n
c. Déterminer la limite de la suit Sn



Merci par avance de vos réponses

Pour la question 1 j'ai seulement trouvé que U était géométrique de raison 3
et Cn géométrique ( est définie par Cn+1=Cn /2 )

[supergrjuju]

J'ai également trouvé An = Cn² * Un/2

Auriez vu des suggestions de formules pour le tableur j'ai un peu du mal avec ça ?

[supergrjuju]

Auriez-vous* pardon

[Dinoz3401]

Salut superjuju,

As-tu trouvé l'expression de Cn ?

[Dinoz3401]

Bonjour à tous !

J'espère que ce problème n'a pas déja été posté
J'aurai besoin d'aide et de conseils pour le résoudre je suis en terminale S et le thème est les limites de suites

Voici l'énoncé
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AB=AC=4
On partage ce triangle en 4triangles rectangles isocèles en joignant les milieux de deux cotés et on colore le triangle central
Comme précedemment chaque triangle non coloré est partagé à nouveau en 4 triangles rectangles isocèles et ainsi de suite ...

Pour tout entier naturel n non nul, on note :
Un le nombre de triangles colorès à la n-ième étape
Cn la longueur du coté adjacent à l'angle droit de chaque triangle coloré à la n-ième étape
An l'aire de la surface colorée à la n-ième etape
Sn l'aire de la surface colorée après n étapes

1. Quelle est la nature des suites (Un) et (Cn) ?
2. Exprimer An en fonction de Un et Cn
3. A l'aide d'un tableur calculer les 20 premiers termes des suies Un, Cn, An, et Sn
4. Conjecturer la nature de la suite An et sa limite
5.a. Démontrer la nature de la suite An
b. En déduire l'expression de An puis celle de Sn en fonction de n
c. Déterminer la limite de la suit Sn



Merci par avance de vos réponses

Pour la question 1 j'ai seulement trouvé que U était géométrique de raison 3
et Cn géométrique ( est définie par Cn+1=Cn /2 )

Je te donne les réponses ( a titre de verification )

1. Un=3^n (suite geometrique comme tu l'as bien dis)
Cn=1/(2^n-2) (de meme, suite geometrique)

On a également, pour n superieur ou egal a 1 : Un+1=3Un
Cn+1=Cn/2
2. An=Un/2*Cn^2 comme tu l'as dit (avec An+1=3/4*An)

3. Alors la, je ne sais pas si cest sur un tableur excel ou sur celui de ta calculette que tu veux le faire ...

4. An est decroissante (tu vois bien que An+1 est inferieur a An)

5. Il te suffit juste de faire la difference An+1-An, tu devrait trouver quelque chose de négatif
Il te suffit juste de remplacer Cn et Un dans l'expression de An...
Sn est la somme des n premiers termes de la suite An, c'est a dire A1+A2+A3+...+An.
Cela devrait te donner une suite géométrique.

Bonne soirée