Exercice DM

[emilie1]

Bonjour,
Enoncé: Soit F(x)= ax²+bx où a et b deux réels

1) determiner a et b en sachant que quelque soit x appartient à IR , F(x+1)-F(x)=x
2) Soit n un entier naturel. En utilisant la relation precedente : F(x+1)-F(x)=x pour n= 1;2;3;...;n
Montrer que: 1+2+3+...+n= F(n+1)-F(n)
3) En deduire la valeur de la somme des n premiers entiers naturels en fonction de n.

J'ai remplacé x par x+1 mais je n'arrive pas à continuer , si quelqu'un peut me donner la méthode pour resoudre cet exercice , ça serait vraiment gentil !
Merci d'avance.

[Arnaud-29-31]

Bonsoir,

Après avoir remplacé par , tu as calculé ce que valait ?

[emilie1]

J'ai trouvé a =1/2 et b=-1/2 mais apres je sais pas comment faire pour la 2 et 3

[chan79]

J'ai trouvé a =1/2 et b=-1/2 mais apres je sais pas comment faire pour la 2 et 3

salut
complète puis ajoute membre à membre: (la somme de tout ce qui est à gauche est égale à la somme de tout ce qui est à droite)
F(2)-F(1)= ...
F(3)-F(2)= ...
F(4)-F(3)= ...
..
..
F(n+1)-F(n)= ...

[emilie1]

F(2)-F(1)= 1
F(3)-F(2)= 2
F(4)-F(3)= 3

F(n+1)-F(n)= 1

Est ce correcte ?
Aprés cela comment je fais ?

[Arnaud-29-31]

On sait que , etc ...
C'est ce qu'il faut utiliser pour trouver une expression de

Tu as une erreur d'énoncé, il faut montrer

[chan79]

F(2)-F(1)= 1
F(3)-F(2)= 2
F(4)-F(3)= 3

F(n+1)-F(n)= 1

Est ce correcte ?
Aprés cela comment je fais ?

F(n+1)-F(n)=n
ajoute tout (il ya des simplifications)

[emilie1]

je trouve n(n+1)/2, qui fait (n^2+n)/2 , est ce correcte ?

[chan79]

Comment je peux tous ajouter ? Je n'ai pas compris.

Arnaud, je trouve n(n+1)/2, ensuite ?

F(2)-F(1) + F(3)-(F2) + F(4)-F(3) + F(5)-F(5) +.....=1+2+3+...+n
après les simplifications, qu'est ce qui reste à gauche ?

[emilie1]

Ah oui , j'ai compris, merci. Ensuite je fais quoi ?

[chan79]

Ah oui , j'ai compris, merci. Ensuite je fais quoi ?

tu trouves quoi ?

[emilie1]

Concernant, l'enoncé en effet, il y a une erreur mais mon professeur a dit que c'est : F(n+1)-F(1)
Je trouve : 1+2+3+...+n=(n+1)²/2-(n+1)/2 =(n²+n)/2=n(n+1)/2

[chan79]

Concernant, l'enoncé en effet, il y a une erreur mais mon professeur a dit que c'est : F(n+1)-F(1)
Je trouve : 1+2+3+...+n=(n+1)²/2-(n+1)/2 =(n²+n)/2=n(n+1)/2

c'est bien ce que tu dois trouver avec la méthode indiquée

[emilie1]

C'est à dire, parceque là je suis perdu :(

[emilie1]

Car je ne sais pas quoi faire avec ce resultat.

[chan79]

Car je ne sais pas quoi faire avec ce resultat.

le but de l'exercice c'est d'établir une formule qui donne le résultat de 1+2+3+...+n
tu as dû trouver F(n+1)-F(1)=1+2+3+ ... +n
or f(n)= an²+bn= 1/2 *(n²-n) car a=1/2 et b=-1/2
f(n+1)-f(1)=1/2((n+1)²-(n+1))-1/2(1-1)=1/2(n+1)(n+1-1)=

donc 1+2+3+...+n=

par exemple 1+2+3+ ... +999+1000=(1000*1001)/2=500500