Racines carrés de nombres négatifs

[m@thieu41]

Bonjour à tous,
Je suis en première S, et je travaille actuellement les fonctions trinômes. Mon prof de math viens de me rendre mon contrôle, et il m'a enlevé un point à un endroit, mais je ne comprends pas trop, je lui ait demandé, mais il ne veut absolument pas me le rajouter.
Voilà ce que j'ai fait:

Soit et D le discriminant (je ne sait pas faire ce symbole)





Il y a donc 2 solutions:

ou
ou

Or , d'où

ou

Or, une racine d'un nombre négatif n'a pas de solution réelle. D'où:


ou

S = {-2 ; 2}


Il m'a barré le et m'a enlevé un point.
Quand j'ai été le voir, je lui ai dit que


Donc du coup, à partir du moment où on écrit X = -10, on peut écrire , mais il n'a pas voulu, sans réussir à me convaincre.

De plus, je sais que si on met la calculatrice (TI82stats.fr) en mode a+ib, elle calcule , et donne un résultat complexe. Mais comme je suis en première, je ne l'ai pas encore appris, et je ne suis pas sûr qu'on puisse l'écrire ainsi (après une recherche rapide, j'ai trouvé des , mais jamais , alors peut-être que ça ne s'écrit pas).

J'aimerais donc avoir l'avis de quelqu'un ayant déjà fait ce chapitre (avant demain matin si possible, vu que j'ai Maths direct, mais sinon, pour Lundi c'est bon aussi, faudrait juste pas que j'y aille 3 ans après), pour savoir si ce que j'ai mis est juste (ou tout du moins pas faux), pour que j’aille réclamer le 20 que (du coup) je mériterais bel et bien.

Merci d'avance pour vos réponses. :we:

[ampholyte]

Bonjour à tous,
Je suis en première S, et je travaille actuellement les fonctions trinômes. Mon prof de math viens de me rendre mon contrôle, et il m'a enlevé un point à un endroit, mais je ne comprends pas trop, je lui ait demandé, mais il ne veut absolument pas me le rajouter.
Voilà ce que j'ai fait:

Soit et D le discriminant (je ne sait pas faire ce symbole)





Il y a donc 2 solutions:

ou
ou

Or , d'où

ou

Or, une racine d'un nombre négatif n'a pas de solution réelle. D'où:


ou

S = {-2 ; 2}


Il m'a barré le et m'a enlevé un point.
Quand j'ai été le voir, je lui ai dit que


Donc du coup, à partir du moment où on écrit X = -10, on peut écrire , mais il n'a pas voulu, sans réussir à me convaincre.

De plus, je sais que si on met la calculatrice (TI82stats.fr) en mode a+ib, elle calcule , et donne un résultat complexe. Mais comme je suis en première, je ne l'ai pas encore appris, et je ne suis pas sûr qu'on puisse l'écrire ainsi (après une recherche rapide, j'ai trouvé des , mais jamais , alors peut-être que ça ne s'écrit pas).

J'aimerais donc avoir l'avis de quelqu'un ayant déjà fait ce chapitre (avant demain matin si possible, vu que j'ai Maths direct, mais sinon, pour Lundi c'est bon aussi, faudrait juste pas que j'y aille 3 ans après), pour savoir si ce que j'ai mis est juste (ou tout du moins pas faux), pour que j’aille réclamer le 20 que (du coup) je mériterais bel et bien.

Merci d'avance pour vos réponses. :we:

Bonjour,

Le prof a peut-être été sévère mais l'écriture n'est pas possible.
Tout ce que tu peux dire (à ton niveau) c'est que x² = -10 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels car un carré est toujours positif. Tu ne peux donc pas écrire .

La calculatrice t'affiche un résultat lorsque tu tapes -10 QUAND TU N'ES PAS DANS LE DOMAINE DES REELS.
Pour faire simple, dans le domaine complexe (que tu verras un peu plus tard) la principale propriété est la suivante : i² = -1.
A partir de ça, tu as x² = -10 donc x² = 10i. Pour calculer x tu verras les méthodes plus tard.
Ici la calculatrice interprète ce que tu as marqué.

Si je prends ma vieille casio d'il y a 15 ou 20 ans, si je tape elle me retourne une erreur.

J'espère que tu auras compris que ton prof t'a retiré un point pour la rigueur :marteau:

[Nightmare]

Salut,

Si x est un réel positif, il existe deux nombres réels qui ont pour carré x. Celui d'entre eux qui est positif c'est celui qu'on note (l'autre est alors ).

A présent, si x est négatif, il n'existe pas de nombres réels qui ont x pour carré (car un carré est toujours positif). Par contre, on peut construire un ensemble dans lequel les nombres réels négatifs ont bien des racines carrées, qui s'appelle l'ensemble des nombres complexes. Dans ce dernier, un nombre réel négatif a toujours deux racines carrées complexes. Le problème est qu'on ne peut plus parler génralement de "positivité" ou de "négativité" chez un nombre complexe, du coup la définition que l'on a de la racine carrée dans R a du mal à s'étendre canoniquement dans C.

Deux raisons s'opposent alors au choix de noter une racine carrée d'un nombre réel négatif :

1) On ne sait pas laquelle des deux racines on choisit quand on note

2) Les propriétés de la racine carrée vraie pour les nombres positifs ne sont pas toutes vraies pour des nombres négatif (exemple : mais . Donc la formule ne marche pas pour les nombres négatifs).

Cela étant, noter n'est pas une grosse erreur mathématique (beaucoup de mathématiciens utilisent cette notation), mais pour l'utiliser il faut être sûr d'être conscient que ce n'est pas exactement le même symbole que pour les nombres positifs et qu'il ne marche pas pareil, et il faut aussi être sûr que ce qu'on va faire avec ne dépend pas du choix de la racine carrée complexe de -10.

[m@thieu41]

Merci pour ta réponse rapide
Mais si ça ne s'écrit pas, pourquoi je peux le rentrer sur la calculette?

[fm31]

Bonjour ,

là où il y a peut être discussion c'est quand tu écris "X1 = -10" car X1 est un carré et ne peut donc pas avoir de valeur négative .

Cordialement

[ampholyte]

Merci pour ta réponse rapide
Mais si ça ne s'écrit pas, pourquoi je peux le rentrer sur la calculette?

La calculatrice va interpréter ton résultat.
Par exemple :
- Je détecte un nombre négatif sous une racine
- Je reviens à la forme x² = mon nombre négatif
- Je résouds
- Je renvoie les solutions sous la forme a + ib (complexe)

Comme je te l'ai dit, ta calculatrice est "intelligente" d'autres ne le sont pas ,)

[m@thieu41]

Merci à tous pour vos réponse,

Je ne comprends pas: vous ne dites pas tous la même chose... on peut où on peut pas?

Bonjour ,

là où il y a peut être discussion c'est quand tu écris "X1 = -10" car X1 est un carré et ne peut donc pas avoir de valeur négative .

Cordialement

Justement, c'est en partant du principe qu'on avait déjà fait un exo de ce type en classe: on avait fait
X1 = -10 (ce n'était pas -10, mais un autre nombre négatif)
= -10. Il n'y a donc pas de solution réelle.

Donc du coup, je me suis dit que


EDIT: je précise que j'ai fait ça parce que mon prof de maths de seconde nous avait dit que on allait apprendre en TS que la racine d'un nombre négatif est un nombre complexe :hum:

[Luc]

Salut,

comme l'a dit Nightmare, la notation est ambiguë car elle ne désigne pas un nombre, mais potentiellement deux : et .
En effet, ces deux nombres vérifient , car .

On ne sait pas a priori lequel choisir.

Alors que pour les racines carrées de nombres réels positifs x, est bien défini car cela désigne l'unique nombre positif dont le carré vaut x.

On ne peut donc pas parler de LA racine carrée d'un nombre négatif, mais d'UNE racine carrée d'un nombre négatif (ou d'un nombre complexe quelconque d'ailleurs).

Si tu veux voir une introduction vidéo bien faite aux nombres complexes, regarde http://www.dimensions-math.org/Dim_reg_F.htm chapitre 5.

[ampholyte]

Merci à tous pour vos réponse,

Je ne comprends pas: vous ne dites pas tous la même chose... on peut où on peut pas?

Edit mal dit :

Tu ne peux pas utiliser cette notation car elle a une signification spécifique qui ne correspondra pas souvent à tes solutions.

[Luc]

Considère que dans ton cas (pour le moment), tu ne peux pas utiliser cette notation car tu travailles dans R.

Tu pourras l'utiliser dans le cas où tu travailles dans C (l'ensemble des complexes)

Non, même en travaillant dans C, cette notation est incorrecte : cf mon post plus haut.
La notation ne désigne pas un nombre complexe, mais une classe d'équivalence de nombres complexes (modulo la relation d'équivalence xRy ssi x=y ou x=-y).

[ampholyte]

Non, même en travaillant dans C, cette notation est incorrecte : cf mon post plus haut.
La notation ne désigne pas un nombre complexe, mais une classe d'équivalence de nombres complexes (modulo la relation d'équivalence xRy ssi x=y ou x=-y).

Autant pour moi je me suis mal exprimé dans mon poste précédent.
Je pensais évident, vu les explications que tu avais fourni juste au dessus, qu'il ne s'agissait pas d'un nombre complexe mais d'un groupe de nombre complexes =).

[m@thieu41]

Ok, merci à tous! :cry:

[ampholyte]

Ok, merci à tous!

Au pire, tu peux également demander directement à ton professeur des explications sur l'impossibilité d'écrire en lui montrant que cette notation existe tout de même :we:.

[m@thieu41]

C'est ce que je vais faire (même si c'est mal parti: la première fois que j'ai été le voir, il s'est contenté de repasser avec son stylo la phrase "Ne pas écrire avec a<0" qu'il a mis sur ma feuille, en me disant que non, c'est pas juste :hum: , et ce sans m'expliquer pourquoi...)

[Luc]

C'est ce que je vais faire (même si c'est mal parti: la première fois que j'ai été le voir, il s'est contenté de repasser avec son stylo la phrase "Ne pas écrire avec a<0" qu'il a mis sur ma feuille, en me disant que non, c'est pas juste :hum: , et ce sans m'expliquer pourquoi...)

Est-ce que maintenant tu as compris pourquoi la notation avec a<0 ne désigne pas un nombre?

[m@thieu41]

A peu près, merci beaucoup pour vos explications !