Exercice "Raisonnement de récurrence" :)

par **ptitgoci** » 10 Sep 2012, 18:35

Bonjour à tous ! J'ai un exercice en mathématiques je ne comprend pas. Il porte sur le raisonnement par récurrence. Pouvez-vous m'aider ? Voici l'exercice :
La suite (Un) est définie sur N* par U;)= 1 et la relation Un+;)+= Un + 2n + 1
1°] Calculer les dix premiers termes de la suite (Un)
2°]a) Quelle conjecture peut-on faire sur l'expression de Un en fonction de n ?
b) Démontrer cette conjecture par récurrence. Merci d'avance aux personnes qui me répondront, ça m'aidera beaucoup à comprendre ce chapitre :happy2:

par **Luc** » 10 Sep 2012, 18:36

Salut,

as-tu calculé les premiers termes de la suite?

par **ptitgoci** » 10 Sep 2012, 18:42

Luc a écrit:Salut,

as-tu calculé les premiers termes de la suite?

Oui ça j'ai réussi

par **Luc** » 10 Sep 2012, 18:44

ptitgoci a écrit:Oui ça j'ai réussi

As-tu remarqué quelque chose, une conjecture?
Si tu ne sais pas quelle conjecture faire, peux-tu recopier les valeurs que tu as trouvé, pour vérifier?

par **ptitgoci** » 10 Sep 2012, 18:53

U1= 1
U2= 4
U3= 9
U4= 16
U5= 25
U6= 36
U7= 49
U8= 64
U9= 81
U10= 100

Serait-ce Un= n² ? ^^
Je viens de me rendre compte, mais comment formuler ?

par **Kikoo <3 Bieber** » 10 Sep 2012, 19:00

Salut,

Oui c'est très bien

Donc maintenant prouve par récurrence sur les entiers naturels que

par **ptitgoci** » 10 Sep 2012, 19:18

Soit la propriété P(n): Un= n²

Initialisation:
U1= 1 et 1²= 1 donc U1=1². P(1) est donc vraie.

Hérédité:
Supposons que la propriété P(k) soit vraie.
Montrons que P(k+1) est vraie également, c'est à dire que P(k+1)= (k+1)²
P(k+1)=

Je bloque à ce niveau là !! :/

par **Luc** » 10 Sep 2012, 19:21

C'est très bien jusque là!
Sauf que ce que tu veux montrer, c'est à dire la propriété P(k+1), a été mal écrite. Tu veux montrer que u(k+1)=(k+1)^2.
P(k+1) n'est pas un nombre.

par **Kikoo <3 Bieber** » 10 Sep 2012, 19:23

Ok, n'oublie pas de préciser qu'on suppose la propriété P(k) vraie pour un certain k supérieur à ton rang initial.
Donc supposons que P(k) est vraie blabla, ce qui signifie que

Maintenant prouvons que P(k+1) est vraie, c'est-à-dire que

(remplace simplement ton k par k+1)

Edit : ah oui mince tu l'as bien fait jusqu'à là, donc d'abord rectifie ta rédaction comme le suggère Luc puis ensuite utilise les données de l'énoncé puis l'hypothèse de récurrence

Bonne chance.

par **ptitgoci** » 10 Sep 2012, 20:15

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai réussi l'exercice !
Merci encore et à bientôt ! :D

Exercice "Raisonnement de récurrence" :)

Exercice "Raisonnement de récurrence" :)

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