Exercice sur les suites

[popo83]

Bonjour je suis en terminale ES et j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les suites auquel je n'ai pas de cours ni de livre de maths
u est la suite définie par U0 = 7 et pour tout nombre entier naturel n :

Un+1 = 1.2Un-2

a) Avec la calculatrice conjecturer la limite de la suite u
b) On pose Vn = Un - 10
Démontrer que la suite v est géométrique
c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n
d) En déduire la limite de la suite u

Merci de me faire parvenir les formules ou les méthodes nécessaires pour résoudre cet exercice, car c'est le début de l'année et je ne voudrais pas commencer déja en retard ! Merci beaucoup

[C.Ret]

Bonjour

Attention avec la notation utiliser LATex ou des parentèse car Un-2 peut correspondre à U(n-2) ou U(n)-2 !!

Comme seul U_O est sdonné, j'imagine que:

u est la suite définie par U0 = 7 et pour tout nombre entier naturel n : U(n+1)= 1.2*U(n)-2


Mais c'est génant de devoir commencer par "imaginer". Ce serait plus clair et plus motivant d'être sûr de l'énoncé.

a) Avec la calculatrice conjecturer la limite de la suite u

Bon, là c'est assez facile, on caclule les premiers terme et on observe.

u(0)=7, u(1)=1.2*7-2=6.4, u(2)=1.2*6.4-2=5.68, ...


Il faut calculer suffisamment de termes pour observer : si la suite est croissante ou décroissante, si elle converge ou pas vers une valeur unique, ...

As-tu une idée pour la limite de cette suite ?

[popo83]

u est la suite définie par U0 = 7 et pour tout nombre entier naturel n : U(n+1)= 1.2*U(n)-2


Ben je ne vois vraiment pas comment on peut le faire avec la calculatrice j'ai une Ti-82 et je n'ai jamais appris comment conjecturer les limites d'une suite

[C.Ret]

Avec la calculatrice pour calculer les termes de la suite il suffit de savoir faire addition et multiplication :

On a u(0)=7

Pour calculer u(1) on effectue donc le calcul suivant :

1.2 * 7 - 2

Je n'ai jamais utilisé de TI-82, mais sur ma calculette pour calculer cela on appuye sur les touches:
[ CL ] // efface l'affichage
[ 7 ] // u_0
[ x ] // multiplication
[ 1 ][ . ][ 2 ] // saisir 1.2
[ - ] // soustraction
[ 2 ] // saisir 2
[ = ] // Affiche le résultat du calcul. (ici u_1)

On profite que u_1 est toujours à l'affichage pour le noter et continuer les calculs:
[ x ] // multiplication
[ 1 ][ . ][ 2 ] // saisir 1.2
[ - ] // soustraction
[ 2 ] // saisir 2
[ = ] // Affiche le résultat du calcul. (ici u_2)
Et ainsi de suite,...
[ x ] // multiplication
[ 1 ][ . ][ 2 ] // saisir 1.2
[ - ] // soustraction
[ 2 ] // saisir 2
[ = ] // Affiche le résultat du calcul. (ici u_3)
etc...

Bon évidemment, sur une TI-82 on doit pouvoir la programmer et ainsi éviter de saisir manuellement tous les calculs. Mais cela dépasse le sujet de cet excercice.
Savoir se servir de sa calculette c'est comme savoir se sevir de son compass, ses crayons, sa règle ou son équerre, cela s'apprend en étudiant le manuel et en réalisant les exemple et excercices qui il figure. De plus, demander à d'autres utilisateurs de ce modèle peut aussi servir à apprendre à en tirer le meilleur parti. http://www.calc-bank.com/

Mais, pour résoudre l'excercice en question et se faire une idée , il n'est pas indispensable de programmer sa calculette. Il suffit simplement d'observer l'évolution numérique de la suite .



P.S.:
En vrai sur ma calculette j'obtiens chaque terme de la suite par le petit programme suivant: « 1.2 OVER * 2 - » Mais évidemment celui-ci n'est pas adapté à une TI !

[popo83]

Merci et pour les autres questions comment je peux faire, quelles formules sont nécéssaire
b) On pose Vn = Un - 10
Démontrer que la suite v est géométrique
c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n
d) En déduire la limite de la suite u

[C.Ret]

Oui, continuons maintenant que nous avons vu comment évolue la suite u et que nous avons une idée de sa limite :lol3:

b) On pose V(n) = U(n) - 10
Démontrons que la suite v est géométrique

Peux-tu en, quelques mots, me rappeler ce qu'est une suite géométrique ? :hein:

[popo83]

une suite géométrique cest si pour passer d'un terme a son suivant on multiplis par un nombre non nul
?

[nodjim]

Sur ma calculette, je tape
7 exe
puis *1.2-2
puis exe, exe, exe.....

[C.Ret]

une suite géométrique cest si pour passer d'un terme a son suivant on multiplis par un nombre non nul
?

Très bien.

Nous allons faire les malins et essayer de déterminer le facteur de croissance de v(n) que nous appèlerons r (comme raison ).

Nous cherchons r, tel que

Si v est géométrique, nous devons avoir qui est une constante. C'est à dire que l'on doit pouvoir trouver une expression de r dans laquelle n n'intervient pas.

Remplacons v par u dans notre expression de r :


Je te laisse poursuivre ce calcul et me donner r.
La suite v est-elle effectivement une suite géométrique ?

[C.Ret]

Sur ma calculette, je tape
7 exe
puis *1.2-2
puis exe, exe, exe.....

Vive CASIO !

[popo83]

la raison est de 1.2 donc v est géometrique

[popo83]

la limite de u est 1?

[C.Ret]

la raison est de 1.2 donc v est géometrique

Très bien nous sommes sur la bonne voie.

c) Exprimer V(n) puis Un en fonction de n


Maintenant que l'on sait que v est géométrique. Qu'en plus nous avons calculé sa raison r= 1.2.
Il ne nous faut plus grand chose pour trouver une expression générale.

Sauf peut-être la valeur initiale. Une suite géométrique est totalement définie à partir de sa raison et du terme général.

As-tu une idée pour calculer le terme initial

[C.Ret]

la limite de u est 1?

AH! Bon ! :doh:
Comment arrives-tu à cette conclusion ?

[popo83]

V0 = U(p)*q^(n-p) ?

[popo83]

a non la limite est moins infini ?

[C.Ret]

V0 = U(p)*q^(n-p) ?

Ah! Mais c'est quoi n et p ?

Il y a plus simple :
L'énoncé nous dit que v(n)=u(n)-10.
On peut donc utiliser cette définition pour n=0.
On obtient directemetn v(0) :
v(0) = u(0) -10 = 7 -10 = -3

D'ailleurs, tu peux ajouter les valeurs de v dans le tableau des valeurs de u(n) que tu as calculé lors de la question 1):

Code: Tout sélectionner

;);););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;) n    ;)    0 ;)    1 ;)    2 ;)    3 ;)    4 ;)    5 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)u(n)  ;)     7;)   6,4;)  5,68;) 4,816;) 3,779;) 2,535;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)v(n)  ;)    -3;)  -3.6;) -4.32;)-5.184;)      ;)      ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;) n    ;)    6 ;)    7 ;)    8 ;)    9 ;)   10 ;)
;););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)u(n)  ;) 1,042;)-0,749;)-2,899;)-5,479;)-8,575;)
;););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)v(n)  ;)      ;)      ;)      ;)      ;)      ;)
;););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););););)

Je te laisse compléter ce tableau en utilisant ta TI-82 (sans faire de programme) ce qui te mettra sur la voie pour trouver l'expression générale de v(n).

a non la limite est moins infini ?

Là je suis d'accord.
En calculant u(n) jsuqu'à n=10, tu aurais vu que la suite est décroissante. Elle ne peut pas avoir pour limite 1. Elle est plus faible que 1 dès u(7).

En fait, tu remarquera que le calcul 1.2*u(n)-2 conduit toujours à une valeur u(n+1) plus faible que u(n).
C'est cette observation qui permet de conjecturer dès la question 1) que la limite de cette suite est très probablement


Mais,trouvons le terme général de v(n) pour démontrer rigoureusement cette limite !
:we:

[popo83]

pour n = 4 ; v = -6.2208
pour n=5 ; v = -7.46496
pour n = 6 ; v = -8.957952
pour n=7 ; v = -10.7495424
pour n=8 ; v = -12.89945088
pour n= 9 ; v = -15.47934106
pour n=10 ; v = -18.57520927

[popo83]

Je ne sais aps si V(n) = 3.6^n ou si cest v(n)= 1.2^n

[C.Ret]

pour n = 4 ; v = -6.2208
pour n=5 ; v = -7.46496
pour n = 6 ; v = -8.957952
pour n=7 ; v = -10.7495424
pour n=8 ; v = -12.89945088
pour n= 9 ; v = -15.47934106
pour n=10 ; v = -18.57520927

Très bien.

Je ne sais aps si V(n) = 3.6^n ou si cest v(n)= 1.2^n

Ni l'un, ni l'autre. Il y a une peite subtilité et la première fois ça surprend toujours un peu.

En fait, le rapport entre deux termes consécutifs de v est bien 1.2 (tu peux le vérifier avec les valeurs du tableau) C'est vrai pour toutes les valeurs sauf la valeur initiale qui n'a pas d'antécèdant. La valeur initiale ne dépend que de la définition de .

On a donc :

Code: Tout sélectionner

v(0)= u(0)-10 = 7 - 10 = -3

Pour les termes suivants, on se sert du fait que v est géométrique de raison r=1.2 :

Code: Tout sélectionner

v(1)=1.2*v(0) = 1.2 * (-3)                            = -3.6

v(2)=1.2*v(1) = 1.2 * (1.2 * (-3)) = 1.2 * 1.2 * (-3) = -4.32

v(3)=1.2*v(2) = 1.2 * 1.2 * 1.2 * (-3)                = -5.184
v(4)=1.2*v(3) = 1.2 * 1.2 * 1.2 * 1.2 * (-3)          = -6.2208

v(5)=1.2*v(4) = 1.2 * 1.2 * 1.2 * 1.2 * 1.2 * (-3)    = -7.4650

...

v(n)=1.2*v(n-1)= 1.2*1.2*...* 1.2 *(-3)               =  ???

Si tu vois où je veux en venir, tu vas pouvoir donner une expression de v(n) en fonction de n, 1.2 et (-3).
En fait cette expression est celle vu en cours et elle est valable pour toute suite géométrique de raison r et de terme inital v0.