Formulaire de maths

[Prepapc]

Bonjour,
Je suis une élève de prépa de PCSI, je rentre en PC dans quelques jours.
Pour la rentrée, mon enseignant de maths nous a donné un formulaire avec 100 questions pour la rentrée.
Je l'ai pratiquement fini depuis quelques semaines, mais il y a certains points dont je ne suis pas sûre et qui me pose problème.
Pouvez-vous me corriger si j'ai faux ou m'éclaircir sur les questions que je ne sais pas ?

1) f est continue sur (a,b) de classe C1 sur (a,b(. Comment montre-t-on le plus simplement possible qu'elle est de classe C1 sur (a,b) ?
>>> J'ai dis que je dois montrer qu'elle est dérivable sur (a,b) et montrer que la dérivée est continue sur l'intervalle.

2) f et g sont dérivables n fois sur l'intervalle I. On sait que le produit fg est dérivable n fois sur I. A quoi est égal (fg)(n) ?
>>> Je pense que c'est égal à 0. Je ne suis pas sûre, les dérivées je trouve ça super simple mais j'avoue que j'ai du mal à comprendre certaines fois.

3) Si M est la matrice de u dans une base orthonormale, u est orthogonal si et seulement si sa matrice M satisfait la relation : ?
>>> Je ne trouve pas de relation, j'ai cherché de partout dans mon cours. Cependant je me demandais si ca ne pouvait pas être : l det (u) l = 1 ?

4) f est croissante de (a,b) dans R. Donnez une condition suffisante sur f pour qu'elle réalise une bijection de (a,b) sur (f(a),f(b))
>>> Je ne comprend pas vraiment le "condition suffisante" car le théorème de la bijection dit que si f est continue, strictement monotone sur un intervalle I, f réalise forcément une bijection, donc je ne comprend pas vraiment ce qu'on attend comme réponse avec le "condition suffisante".

5) P est un polynome de Kn(X) et a appartient à K
a est racine d'ordre p de P si et seulement si P^(k) (a)=0 pour les valeurs de k suivantes :
>>> Cette question je ne sais pas du tout.

6) On nous demande de tracez et donnez la nature des courbes suivantes :
* xy=-1 donc c'est une hyperbole
* x^2 + 2y^2 =2
Pour la deuxième courbe je n'y arrive pas, même pour le tracé, j'ai posé des valeurs de x différentes à chaque fois mais je trouve un résultat assez bizarre...

Voilà, pour les autres questions je suis sûre de ce que j'ai fais, mais j'avoue que les 6 questions ci dessus me posent un problème.

Merci
Bonne journée

[Luc]

Salut,

2)La dérivée n-ième d'un produit peut s'exprimer en fonctions des dérivées de chaque facteur : c'est la formule de Leibniz. Elle fait intervenir des coefficients binomiaux. Essaye de regarder ce qui se passe pour n=2,3... puis par récurrence

3)Attention, on te demande une condition sur M, pas sur u. u ne dépend pas du choix de la base B, alors que M si. La définition des matrices orthogonales est M*tM=In (tM étant la transposée de M). |det M|=1 est une condition nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, la matrice (1/2 0 // 0 2) a un déterminant de 1 mais n'est pas orthogonale.

4) Une condition suffisante est : f continue et f strictement croissante (tu peux alors appliquer le théorème que tu cites). Ce n'est pas demandé, mais je pense qu'elle est aussi nécessaire: si f est seulement supposée croissante, a priori elle n'est pas continue (d'où défaut de surjectivité) et pas strictement croissante (d'où défaut d'injectivité, par exemple si f est une fonction constante).

5) J'imagine que K=R ou C. Si p=1 (racine simple), que devient l'énoncé? Tu devrais avoir dans ton cours la caractérisation des racines multiples d'un polynôme par l'annulation de ses dérivées. Pense à deux choses : 1) le cas d'une racine double dans le cas d'une équation du second degré . 2) La formule de Taylor pour les polynômes. Je pense d'ailleurs qu'il faut lire "a est racine d'ordre au moins p" car rien n'empêche les dérivées de P en a d'ordre supérieur d'être nulles a priori.

6) As-tu vu les coniques l'année dernière? Si oui, tu peux calculer le discriminant et conclure quant à la nature (ellipse, parabole, hyperbole) en fonction du signe du discriminant. La deuxième courbe est en fait une ellipse (je te laisse trouver le centre et les axes)

Bonne journée,
Luc

Bonjour,
Je suis une élève de prépa de PCSI, je rentre en PC dans quelques jours.
Pour la rentrée, mon enseignant de maths nous a donné un formulaire avec 100 questions pour la rentrée.
Je l'ai pratiquement fini depuis quelques semaines, mais il y a certains points dont je ne suis pas sûre et qui me pose problème.
Pouvez-vous me corriger si j'ai faux ou m'éclaircir sur les questions que je ne sais pas ?

1) f est continue sur (a,b) de classe C1 sur (a,b(. Comment montre-t-on le plus simplement possible qu'elle est de classe C1 sur (a,b) ?
>>> J'ai dis que je dois montrer qu'elle est dérivable sur (a,b) et montrer que la dérivée est continue sur l'intervalle.

2) f et g sont dérivables n fois sur l'intervalle I. On sait que le produit fg est dérivable n fois sur I. A quoi est égal (fg)(n) ?
>>> Je pense que c'est égal à 0. Je ne suis pas sûre, les dérivées je trouve ça super simple mais j'avoue que j'ai du mal à comprendre certaines fois.

3) Si M est la matrice de u dans une base orthonormale, u est orthogonal si et seulement si sa matrice M satisfait la relation : ?
>>> Je ne trouve pas de relation, j'ai cherché de partout dans mon cours. Cependant je me demandais si ca ne pouvait pas être : l det (u) l = 1 ?

4) f est croissante de (a,b) dans R. Donnez une condition suffisante sur f pour qu'elle réalise une bijection de (a,b) sur (f(a),f(b))
>>> Je ne comprend pas vraiment le "condition suffisante" car le théorème de la bijection dit que si f est continue, strictement monotone sur un intervalle I, f réalise forcément une bijection, donc je ne comprend pas vraiment ce qu'on attend comme réponse avec le "condition suffisante".

5) P est un polynome de Kn(X) et a appartient à K
a est racine d'ordre p de P si et seulement si P^(k) (a)=0 pour les valeurs de k suivantes :
>>> Cette question je ne sais pas du tout.

6) On nous demande de tracez et donnez la nature des courbes suivantes :
* xy=-1 donc c'est une hyperbole
* x^2 + 2y^2 =2
Pour la deuxième courbe je n'y arrive pas, même pour le tracé, j'ai posé des valeurs de x différentes à chaque fois mais je trouve un résultat assez bizarre...

Voilà, pour les autres questions je suis sûre de ce que j'ai fais, mais j'avoue que les 6 questions ci dessus me posent un problème.

Merci
Bonne journée

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour cette là
x² + 2y² = 2
Il y a plusieurs façon de répondre, en voila une : on fait une changement de base
Y = y / racine(2)
Est-ce que ça vous parle ?

[Prepapc]

Salut,

2)La dérivée n-ième d'un produit peut s'exprimer en fonctions des dérivées de chaque facteur : c'est la formule de Leibniz. Elle fait intervenir des coefficients binomiaux. Essaye de regarder ce qui se passe pour n=2,3... puis par récurrence

3)Attention, on te demande une condition sur M, pas sur u. u ne dépend pas du choix de la base B, alors que M si. La définition des matrices orthogonales est M*tM=In (tM étant la transposée de M). |det M|=1 est une condition nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, la matrice (1/2 0 // 0 2) a un déterminant de 1 mais n'est pas orthogonale.

4) Une condition suffisante est : f continue et f strictement croissante (tu peux alors appliquer le théorème que tu cites). Ce n'est pas demandé, mais je pense qu'elle est aussi nécessaire: si f est seulement supposée croissante, a priori elle n'est pas continue (d'où défaut de surjectivité) et pas strictement croissante (d'où défaut d'injectivité, par exemple si f est une fonction constante).

5) J'imagine que K=R ou C. Si p=1 (racine simple), que devient l'énoncé? Tu devrais avoir dans ton cours la caractérisation des racines multiples d'un polynôme par l'annulation de ses dérivées. Pense à deux choses : 1) le cas d'une racine double dans le cas d'une équation du second degré . 2) La formule de Taylor pour les polynômes. Je pense d'ailleurs qu'il faut lire "a est racine d'ordre au moins p" car rien n'empêche les dérivées de P en a d'ordre supérieur d'être nulles a priori.

6) As-tu vu les coniques l'année dernière? Si oui, tu peux calculer le discriminant et conclure quand à la nature (ellipse, parabole, hyperbole) en fonction du signe du discriminant. La deuxième courbe est en fait une ellipse (je te laisse trouver le centre et les axes)

Bonne journée,
Luc

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai réussi à tout finir.
Bonne soirée