Proba et urnes

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 20:01

Bonjour, jai une question qui me pose problème et j'ai selon d'une réponse le plus
Rapidement possible, alors voila:
A) Une première urne contient 3 boules vertes et 2 boules oranges et une deuxième urne contient 2 boules oranges et 4 boules vertes. On tire 2 boules de la première urne et deux de la seconde, sans remise.
B) Quelle est la probabilité de tirer 4 boules vertes?
Si l'on a tire les yeux ferme trois boules oranges et une boule verte. Quelle est la probabilité que la boule verte vienne de la première urne ?

Pour la question A) j'ai trouve 70% mais pur la B) je bloque... Je pense que c'est une probabilité conditionnelle mais je n arrive pas a aller plus loin...

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 20:19

Bonjour, ce n'est pas la bonne réponse pour la première question. Peux-tu montrer tes calculs ?

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 20:48

Skullkid a écrit:Bonjour, ce n'est pas la bonne réponse pour la première question. Peux-tu montrer tes calculs ?

Oui, alors j'ai fait un diagramme en arbre pour chaque urne donc pour l'urne 1 il a y 'a 3/5 chance de tirer une verte et 2/5 de tirer une orange et ensuite si on part de l'hypothèse qu'on ait tiré 1 boule verte, il nous reste plus que 2/4 de tirer à nouveau une boule verte et 2/4 de tirer une orange . Donc dans l'urne 1 la probabilité de tiré 2 boules vertes est de : 3/5*2/4=3/10

Jai fait la meme chose pour l'urne 2 ce qui me donnait: 6/4*3/5=4/10
ensuite j'ai additionner les 2 probabilités: 4/10+3/10= 7/10=0.7=70 %

Un peu dur à expliquer sans schéma... désolé

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 21:03

Imagine que la deuxième urne ne contienne que des boules vertes, il y aurait donc une probabilité 1 de tirer deux boules vertes en tirant deux boules dans la deuxième urne. Avec ton raisonnement, on obtiendrait une probabilité de 130% de tirer 4 boules vertes en tirant deux boules dans chaque urne. Essaye de voir où est ton erreur.

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 21:08

oui mais dans l'urne 2 il y a 2 oranges et 4 vertes.... Aha désolé je ne comprends pas

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 21:11

oui j'ai compris ce que mon raisonemment a de faux.. je dois multiplié les deux probabilité au lieu de les additonner ? Je ne vois pas comment faire autrement..

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 21:17

Oui, il faut multiplier les probabilités pour les deux urnes, ce qui donne une proba de 12% au final. C'est parce que l'événement dont tu cherches à calculer la probabilité (tirer 4 boules vertes) est l'événement "tirer deux boules vertes dans la première urne ET tirer deux boules vertes dans la seconde urne", le résultat des tirages de la première urne étant évidemment indépendants de ceux de la deuxième urne. Prends l'habitude d'écrire explicitement les événements qui t'intéressent.

Pour la question 2, il s'agit en effet de probabilités conditionnelles. Quel est l'événement dont tu veux calculer la probabilité ?

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 21:25

Je sais pas si j'ai bien compris la question.. je dirai que je veux savoir quelle est la probabilité d'avoir tiré une boule de l'urne 1 en sachant que cette boule est verte?

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 21:29

Non, que sais-tu sur le résultat des tirages ? Que veux-tu savoir ?

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 21:34

jai essayé de faire avec la formule de la probabilité conditionnelle qui est : P(A|B)= p (AnB)/P(B)

donc dans mon cas se serait: P(boule vienne de U1| boule verte) = 1/11 divisé par 1/7 = 63.63 %...
je doute que ce soit juste...

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 21:35

Je veux savoir quelle est la probabilité que la boule vienne de U1 alors qu'on a tiré qu'une seule boule verte...

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 21:46

Les événements "élémentaires" qui t'intéressent ce sont les tirages de 4 boules, 2 dans chaque urne. Ce sont ces événements-là dont tu sais directement calculer la probabilité. Un exemple de tel événement est "tirer 2 boules vertes dans la première urne et 2 boules vertes dans la deuxième urne", c'est l'événement dont tu as calculé la probabilité à la question 1.

L'énoncé te demande "si l'on a tiré trois boules orange et une boule verte, quelle est la probabilité que la boule verte vienne de la première urne ?". Il suffit de lire la phrase : tu dois calculer la probabilité d'avoir tiré une boule verte dans la première urne sachant que tu as tiré trois boules orange et une boule verte en tout.

En termes d'événements élémentaires, à quoi correspond l'événement "tirer trois boules orange et une boule verte" ?

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 22:00

Alors je dois savoir quelle est la probabilité d'avoir tiré 1 boule verte dans l'urne 1 donc : 3/5*2/4=3/10
Et je dois savoir quelle est la probabilité d'avoir tiré 3 boule oranges et une boule verte en tout: comme il y a 11 boules en tout ( 7 vertes et 4 oranges), la prob. d'avoir tiré 1 boule verte est de 1/7 et la prob. d'avoir tiré 3 orange et de 3/4, donc la prob d'avoir tiré 1 boule verte et 3 oranges est de 1/7*3/4=3/28

Je suis bien ou je suis à la masse ? haha désolé j'ai du mal à m'exprimé avec des termes "mathématiques" ...

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 22:15

Ça ne va pas, je reprends. Les événements dont tu sais directement calculer la probabilité, ceux que j'ai appelés "élémentaires", ce sont les événements "tirer tant de boules de telle couleur dans la première urne et tirer tant de boules de telle couleur dans la deuxième urne". Peux-tu me faire la liste complète de tous ces événements élémentaires ?

Pour éviter d'avoir à écrire de longues phrases, tu peux par exemple écrire chacun des événements élémentaires sous la forme "AB-CD" où chaque lettre représente la couleur d'une des boules tirées (V ou O), les deux premières lettres représentant les boules tirées dans la première urne, les deux dernières les boules tirées dans la seconde urne. Par exemple l'événement "tirer deux boules vertes dans la première urne et deux boules vertes dans la deuxième urne" se note VV-VV. (L'ordre dans lequel on tire les boules n'importe évidemment pas)

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 22:23

VV-VV OV-VV
VV-VO OO-VV
VV-OO OO-OV
VO-OO
OO-OO

Il me semble que cest tout non ?

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 22:37

Tu as oublié OV-OV. D'où la liste complète :

OO-OO
OO-OV
OO-VV
OV-OO
OV-OV
OV-VV
VV-OO
VV-OV
VV-VV

À titre d'entraînement tu peux calculer la probabilité de chacun de ces événements, et constater que la somme de ces probabilités vaut bien 1. Maintenant, tu sais que tu as tiré 3 boules orange et 1 boule verte. Comment écrire cet événement à partir des 9 événements élémentaires ?

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 22:39

P(3o1v) = 2/9

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 22:42

On ne s'en sortira jamais si tu ne réponds pas aux questions que je te pose :/

Comment écrire l'événement "tirer 3 orange et 1 verte" à partir des 9 événements élémentaires ?

par **Probda18** » 19 Juin 2012, 22:52

Ahaha oui désolé mais je ne comprends comment répondre à la question ! on a toujours travaillé avec des diagrammes en arbre ou avec des tableaux et j'ai du mal à faire selon cette méthode..

par **Skullkid** » 19 Juin 2012, 23:01

Il faut être capable de raisonner sans arbres. Les raisonnements avec des arbres sont valides, mais ici ça prendrait trop de temps à les dessiner sur le forum...

Tous les événements que tu peux considérer sont des combinaisons d'événements élémentaires. Pour combiner des événements élémentaires tu peux utiliser "et", "ou" et "non". L'événement "tirer 3 orange et 1 verte" c'est l'événement "OO-OV ou OV-OO", d'accord ?

Les deux événements OO-OV et OV-OO sont naturellement incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps), donc la probabilité de "OO-OV ou OV-OO" est la somme des probabilités de OO-OV et de OV-OO. Combien vaut donc la probabilité de tirer 3 boules orange et 1 boule verte ?

Ensuite, ce que tu veux au final c'est la probabilité de "tirer une boule verte dans la première urne sachant qu'on a tiré 3 boules orange et 1 boule verte". D'après la formule des probabilités conditionnelles, cette probabilité vaut P(tirer une boule verte dans la première urne et tirer 3 boules orange et 1 boule verte en tout)/P(tirer 3 boules orange et 1 boule verte en tout). Comment écrire l'événement au numérateur en fonction des événements élémentaires ? Que vaut donc la probabilité de l'événement au numérateur ? Que vaut au final la probabilité demandée ?

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