Points méthodes (TS)

[JoneeD]

bonjour,
étant en pleines révisions pour le Bac, j'éprouve quelques difficultés en géométrise dans l'espace, pourriez vous me donnez des points méthodes avec exemple si possible pour répondre à ce genre de problèmes :

- Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan
- Déterminer une équation du plan
(~Amérique du Nord 2011- Ex 2- S)

Ce sera tout pour le moment, mais si je rencontre d'autres soucis j'éditerai..
Merci d'avance,
Jo

[Rockleader]

Quoi de mieux pour réviser que d'aider les gens, je vais essayer de m'y employer du mieux possible =)



Pour prouver qu'un vecteur est normal à un plan, tu vas prouver qu'il est normal à deux vecteur de ce même plan.


Par exemple, si tu as un plan, FIH.

Pour prouver que le vecteur u est normal à FIH, tu vas prouver qu'il est à la fois normal à FI et à FH.



Pour déterminer l'équation d'un plan, il faut déjà connaître la formule générale pour l'équation d'un tel plan. TU pourrais nous la donner ? Le dernier paramètre est trouvé en utilisant les coordonnées d'un point du plan.

[JoneeD]

l’équation d'un plan est ax+by+cz+d=0.
Je connais les formules tout ça mais l'exo en question (Amérique du Nord 2011) m'embête vachement...

Un autre point que je n'ai pas compris non plus :
comment résoudre un système du style :
1+2t = 2+3t'
1-t = 3-t'
3-t = 4+t' (nombre donnés au hasard)

[M@thIsTheBest]

bonjour,
étant en pleines révisions pour le Bac, j'éprouve quelques difficultés en géométrise dans l'espace, pourriez vous me donnez des points méthodes avec exemple si possible pour répondre à ce genre de problèmes :

- Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan
- Déterminer une équation du plan
(~Amérique du Nord 2011- Ex 2- S)

Ce sera tout pour le moment, mais si je rencontre d'autres soucis j'éditerai..
Merci d'avance,
Jo

Bonjour,
1-Pour démontrer qu'un vecteur est normal à un plan:
Ex soit le vecteur de composantes et le plan tq (a',b',c') alors la normal à P est de composantes
est normal à P ssi les Trois déterminant sont nuls si alors .
Si vous n'avez pas l'équation de P tu peut la déduire par le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires ensuite tu montre que le vecteur résultant de ce produit est colinéaire à .....il existe d'autres méthodes...
2-Déterminer une équation du plan:
Tu peux la déduire à partir la normal à P est un point appartenant à P ou même par la représentation paramétrique...
Pour mieux comprendre, écris les problèmes que tu n'arrives pas à les résoudre et on peut t'aider... :lol3:
Tu peut consulter:http://xmaths.free.fr/TS/cours/cours.php?nomcours=TSgeomcours&page=01
pour mieux comprendre..
M@thIsTheBest.

[globule rouge]

Salut M@thIsTheBest

Au lieu de parler de déterminant et de produit vectoriel (je doute que JoneeD ait compris ce dont il s'agit), il suffit de montrer que le vecteur v(a',b',c') considéré est colinéaire à un vecteur normal du plan ax+by+cz+d=0 de coordonnées u(a,b,c).

Julie

[JoneeD]

bonjour M@thIsTheBest
C'est l'exo 2 question 1 & 2 de ce sujet : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/BacSAmeriqueduNordmai2011-2.pdf qui m'embête.
Cela sera alors en effet plus compréhensible.

Pour la 1. si j'ai bien compris : il faut faire n.BC et n.BE , on trouve 0 et 0 donc normal a BCE

Et la 2, je ne trouve pas...

Enfin pour mon autre question il s'agirait de résoudre :

http://www.casimages.com/img.php?i=120614035940258435.jpg

[JoneeD]

@Julie : Oui mais on n'a pas encore les a b et c de l'équation du plan, puisqu'on cherche à la déterminer en 2.

&+1 quant à mon incompréhension face au déterminant

Sinon, M@thIsTheBest, je vais potasser ton lien ce soir, merci bien ;)

[M@thIsTheBest]

Salut M@thIsTheBest

Au lieu de parler de déterminant et de produit vectoriel (je doute que JoneeD ait compris ce dont il s'agit), il suffit de montrer que le vecteur v(a',b',c') considéré est colinéaire à un vecteur normal du plan ax+by+cz+d=0 de coordonnées u(a,b,c).

Julie

Julie, tu as déduit suite au produit vectoriel !! Il ne faut pas apprendre le cours, il faut le comprendre..
Voilà La démonstration pour JoneeD:
Soit P de vecteurs directeurs , A(x0,y0,z0) un pt de P et M(X,Y,Z).
Soit =^ (le vecteur résultant au produit vectoriel de )
M ssi =0 or d'ou =

De plus voilà ce que j'ai dit:

Si vous n'avez pas l'équation de P tu peut la déduire par le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires ensuite tu montre que le vecteur résultant de ce produit est colinéaire à

[globule rouge]

La réponse de Rockleader était suffisante en effet, si l'on ne connait pas l'équation du plan P. M@thIsTheBest avait d'ailleurs repris cette idée-là ;)

[globule rouge]

Julie, tu as déduit suite au produit vectoriel !! Il ne faut pas apprendre le cours, il faut le comprendre..

Certes, mais je connais déjà la démonstration, il faut y aller droit au but

[M@thIsTheBest]

Certes, mais je connais déjà la démonstration, il faut y aller droit au but

Julie, ce que j'ai voulu dire, c'est qu'il ne faut pas mettre le résultat comme ça sans expliquer à JoneeD;car tu as dit qu'il ne sait pas c'est quoi le produit vectoriel et puis tu as écrit directement la conclusion du vecteur normal, et comme ça tu lui demandes d'apprendre !!! c'est pourquoi je dis qu'il ne faut pas apprendre mais il faut comprendre !!!!!

il faut y aller droit au but

Et je t'assure que ce n'est pas mon but..le but que tu en penses...mais malheureusement, toujours ces malentendus... :triste:

[JoneeD]

j'ai compris la démo. Merci.
Quelqu'un pour m'éclairer ici : http://www.casimages.com/img.php?i=...35940258435.jpg

[ThekamikazeFou]

Euh... Pour demontrer q'un Plan d'equation : ax + bx + cx + d = 0 a pour vecteur normale u(a' ; b'; c';)
On demontre que aa' + bb'+ cc' = 0 non?!

[Luc]

Non.
(a ; b ; c) est une équation du vecteur normal au plan.
Ce que tu obtiens avec aa'+bb'+cc'=0, ce sont les vecteurs u(a' ; b'; c';) tels que , autrement dit les vecteurs dont le produit scalaire avec (a,b,c) est nul. Ce n'est pas ce que tu cherches...
La bonne caractérisation est que u(a' ; b'; c') soit COLINEAIRE à (a; b; c), soit : il existe k tel que
a'=ka; b'=kb; c'=kc.
Car il n'y a pas unicité du vecteur normal au plan : on peut le choisir de la norme que l'on veut et dans le sens que l'on veut (vers le "haut" ou vers le "bas).

Luc

[ThekamikazeFou]

Non.
(a ; b ; c) est une équation du vecteur normal au plan.
Ce que tu obtiens avec aa'+bb'+cc'=0, ce sont les vecteurs u(a' ; b'; c';) tels que , autrement dit les vecteurs dont le produit scalaire avec (a,b,c) est nul. Ce n'est pas ce que tu cherches...
La bonne caractérisation est que u(a' ; b'; c') soit COLINEAIRE à (a; b; c), soit : il existe k tel que
a'=ka; b'=kb; c'=kc.
Car il n'y a pas unicité du vecteur normal au plan : on peut le choisir de la norme que l'on veut et dans le sens que l'on veut (vers le "haut" ou vers le "bas).

Luc

Aaaah ! Ok j'ai compris je confonds a chaque fois...
En gros si j'ai H : ax +by+cz=0. Alors le vecteur A(a,b,c) est NORMALE au plan precedente?!

Et si on a p qui a pour equation parametrique :
X= 1 + t
Y= 4 -2t
Z = 2t
Alors le verteur v (1,-2,2) est DIRECTEUR a P ?

Donc si je fais A.v=0 alors le plan p est // H ?!

[Luc]

Aaaah ! Ok j'ai compris je confonds a chaque fois...
En gros si j'ai H : ax +by+cz=0. Alors le vecteur A(a,b,c) est NORMALE au plan precedente?!

Oui. (on dit UN vecteur)

Et si on a p qui a pour equation parametrique :
X= 1 + t
Y= 4 -2t
Z = 2t
Alors le vecteur v (1,-2,2) est DIRECTEUR a P ?

Oui, car tu peux écrire (x; y; z) = (1; 4; 0) + t*(1; -2; 2). Cet ensemble de points est une droite.
En effet, tu as écrit (x; y; z) = un point + t*(un vecteur). Ce vecteur est un vecteur directeur de la droite.

Donc si je fais A.v=0 alors le plan p est // H ?!

p est une droite, pas un plan.
A.v=0, d'inconnue A, est l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à v (produit scalaire nul).
Il faut bien faire attention si tu cherches des points (problème affine) ou des vecteurs (problème linéaire) mais en l'occurrence tu obtiendras un plan d'équation x-2y+2z=0 (logique puisque v=(1;-2;2) en est un vecteur normal).
Petit exercice : Quel serait l'ensemble des points B tels que B.v=1?

Luc

[ThekamikazeFou]

On a P
X= 1 + t
Y= 4 -2t
Z = 2t
On pose B(x,y,z)

Donc si B.v=1
Alors : 1x -2y + 2z = 1
Mais bon j'ai 3 inconnues pour 1 equations...
Apres comment trouver l'ensemble aucune idée :(

En gros j'ai B a pour equation cartesienes x -2y +2z -1 = 0

[Luc]

On a P
X= 1 + t
Y= 4 -2t
Z = 2t
On pose B(x,y,z)

Donc si B.v=1
Alors : 1x -2y + 2z = 1

C'est même une équivalence (si et seulement si)

Mais bon j'ai 3 inconnues pour 1 equations...

C'est normal, c'est l'équation d'un plan, qui est un espace de dimension 2.
On dit qu'il y a deux degrés de liberté. En général, si tu as autant d'équations que d'inconnues, tu trouves un point unique. (sous certaines conditions mais c'est compliqué).

Apres comment trouver l'ensemble aucune idée
En gros j'ai B a pour equation cartesienes x -2y +2z -1 = 0

C'est la bonne réponse. C'est donc l'équation cartésienne d'un plan.
- Peux tu trouver un point de ce plan?
- Peux-tu trouver un vecteur contenu dans de plan?
- Peux tu trouver un autre vecteur non colinéaire contenu dans ce plan?
- Indice : tu peux vérifier que leur produit scalaire avec v est nul.

Luc

[ThekamikazeFou]

- Peux tu trouver un point de ce plan?
- Peux-tu trouver un vecteur contenu dans de plan?
- Peux tu trouver un autre vecteur non colinéaire contenu dans ce plan?
- Indice : tu peux vérifier que leur produit scalaire avec v est nul.

Luc

1- je ne vois pas comment faire alors je vais chercher le point d'intersection de P et de B

Donc a l'equation parametrique de P et l'equation cartesienne de B on a :
(1+t) -2(4-2t)+2(2t)-1=
Donc t= 4/7
le point d'intersection est donc
x=1+4/7
Y= 4-2(4/7)
Z= 2(4/7)
Donc T( 11/7;20/7;8/7)

2-
D'apres moi il faudrait chercher le vecteur directeur de B
Le vecteur directeur de B (v) serrait donc perpendiculaire a un vecteur normale soit n(1,-2,2)
Donc : v appartient a B ssi v.u=0
Donc v a pour equation x-2y+2z=0

(la je ne suis pas sur !! )


3-
Un vecteur non colinaire?! Il peut donc etre normale au plan ?
Donc n serrait pour moi non colinaire a B mais sa m'etonnerais, ca serrait trop simple

[Luc]

1- je ne vois pas comment faire alors je vais chercher le point d'intersection de P et de B

Donc a l'equation parametrique de P et l'equation cartesienne de B on a :
(1+t) -2(4-2t)+2(2t)-1=
Donc t= 4/7
le point d'intersection est donc
x=1+4/7
Y= 4-2(4/7)
Z= 2(4/7)
Donc T( 11/7;20/7;8/7)

L'idée est bonne (je n'y avais pas pensé) mais le calcul est faux. Détaille le développement et évite les erreurs de signe. Il y a une autre méthode (plus simple) pour trouver un point du plan B : tu imposes des coordonnées égales à 0. Par exemple, (1,0,0) appartient à B.

2-
D'apres moi il faudrait chercher le vecteur directeur de B

Le problème c'est qu'il n'y a pas un seul vecteur directeur de B, mais deux non colinéaires (en maths, on dit: une base) puisque B est un plan, espace de dimension 2, et non une droite, espace de dimension 1.
Et il y a également un problème de notation puisque v est déja utilisé pour nommer le vecteur normal (1,-2,2).

Les vecteurs de B seraient donc perpendiculaires au vecteur normal v(1,-2,2), donc auraient pour équation x-2y+2z=0. (J'ai reformulé)

C'est exact, mais je te demande d'expliciter de tels vecteurs. Par exemple, (0,1,1) en est un. Pour trouver le deuxième, tu peux écrire l'intersection du plan x-2y+2z=0 avec le plan normal à (0,1,1). Je te laisse faire le calcul ... Tu devrais trouver une droite. Prend par exemple z=1 pour trouver finalement un vecteur de cette droite.

Luc