Mettre en œuvre plusieurs méthodes pour résoudre un unique p

[Timothé Lefebvre]

Bonjour tout le monde,

ce sont enfin les vacances !

Pour ne pas perdre la main je vous propose une petite inégalité. Si je la donne maintenant et en précisant qu'il y a plusieurs méthodes de résolution c'est justement parce que parmi elles on utilise (ou on trouve) certains principes évoqués (ou même utilisés) dans mes topics récents.

Énoncé :

Soient les réels strictement positifs a, b et c tels que

Mq :

Je vous souhaite de bonnes vacances, pour ceux qui ont la chance d'en avoir, et un bon week-end !

Tim

[benekire2]

on peut peut être déjà remplacer les 1 par abc, histoire au moins de voir ce que cela donne.
} par IAG, suis-je sur la bonne voie?

[Timothé Lefebvre]

Pas vraiment non.

Ce que tu peux faire c'est multiplier deux fois par abc. Qu'obtiens-tu ?

Sinon, la seconde méthode est de passer par l'inégalité de Schur.

[Black Jack]

Voila une méthode lourde, mais tous les chemins mènent à Rome.

Le membre de gauche de l'inéquation peut s'écrire (en tenant compte que abc=1)

(ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1)

= (ab²c - abc + ab - b²c + bc - b + bc - c + 1)(ac - a + 1)

= (ab²c - abc + ab - b²c + 2bc - b - c + 1)(ac - a + 1)

= a²b²c² - a²bc² + a²bc - ab²c² + 2abc² - abc - ac² + ac -a²b²c + a²bc - a²b + ab²c - 2abc + ab + ac - a + ab²c - abc + ab - b²c + 2bc - b - c + 1

= 1 - ac + a + -bc + 2c - 1 - ac² + ac - ab + a - a²b + b - 2 + ab + ac - a + b - 1 + ab - b²c + 2bc - b - c + 1

= a + c + b - ac² - a²b - b²c + ab + ac + bc - 2

= 1/(bc) + c + b - c/b - 1/(bc²) - b²c + 1/c + 1/b + bc - 2
---
1/A + A = (A²+1)/A >= 2 (puisque A² - 2A + 1 >= 0)

Et donc en groupant 1/(bc) avec bc, c avec 1/c et b avec 1/b,il vient :

(ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1) <= 4 - c/b - 1/(bc²) - b²c

(ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1) <= 4 - (c^4 + b³c^4 + 1)/(bc³)

Pour une valeur quelconque de c donnée :

f(b) = (c^4 + b³c^4 + 1)/(bc³)

f '(b) = (1/c³). (3b³c^4 -c^4 - b³c^4 - 1)/b²
f '(b) = (1/c³). (2b³c^4 - c^4 - 1)/b²

f '(b) = 0 pour 2b³c^4 = c^4 + 1, soit pour b = [(1 + c^4)/(2c^4)]^(1/3)
L'étude du signe de f '(c) montre que f(c) a un minimum pour b = [(1 + c^4)/(2c^4)]^(1/3)

Ce min vaut f min = (3/V2) * V((c^4+1)/c²)

Il faut encore trouver la valeur ce c (> 0) telle que f min soit minimum.

g(c) = (c^4+1)/c² sera min pour la même valeur de c que celle qui rend fmin minimum.

g'(c) = (4c^4 - 2c^5 - 2)/c³ avec c > 0

g'(c) = 0 pour c = 1 et pour c = 1,92...

L'étude du signe de g'(c) montre que g(c) est minimum pour c = 1

==> fmin = (3/V2) * V((1^4+1)/1²) = 3

Et donc (ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1) <= 4 - 3

(ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1) <= 1
*************
:zen:

[Timothé Lefebvre]

Oulah c'est très lourd !
Autre méthode : par transfo de Ravi.

J'y vais, quand je reviens je vous donne ma résolution.

[benekire2]

les transfos de ravi sont valables dans les triangles, ici on en a pas, sauf si on considère un triangle de périmètre1 ?

[benekire2]

On a donc:
(ab²c-abc+ab)(abc²-abc+bc)(a²bc-abc+ac)
=(a²b^3c²-a²b²c²+a²b²c)(a²b²c^3-a²b²c²+)(a^3b²c²-a²b²c²+a²bc²)

et là je fais quoi ??

[Timothé Lefebvre]

Non, la transfo de Ravi n'est pas que "valable" dans un triangle..

Ici on commence par poser un changement de variables.
Par exemple : a=u/v, b=v/w et c=w/u avec u, v et w strictement positifs.
On a donc : (u+w-v)(u+w-v)(v+w-u) =< vuw.

La transfo de Ravi revient à écrire le système 3x3 suivant :

u=x+y
v=y+z
w=x+z

qui revient à :

x=(u+w-v)/2
y=(u+v-w)/2
z=(v+x-u)/2

Si x, y et z sont positifs alors ... et on peut conclure par inégalité de la moyenne.

Si ils sont négatifs alors le membre de gauche de ma nouvelle inégalité est négatif.

Voilà pour ma méthode, je pense que c'est la plus simple.

[Timothé Lefebvre]

[quote="Timothé Lefebvre"]Ici on commence par poser un changement de variables.

Par exemple : a=u/v, b=v/w et c=w/u avec c, u et w strictement positifs.

On a donc : (u+w-v)(u+w-v)(v+w-u) == 0

Et cette inégalité là est pile poil celle dont Zweig parlait l'autre jour : l'inégalité de Schur. Avec n=1.
D'ailleurs ça se démontre facilement en ordonnant les variables u, v et w (à cause de leur rôle symétrique on a
u >= v >= w >= 0).

[benekire2]

oui, c'est vrai, j'ai cherché a transformé sous forme d'inégalité de shur mais je n'y suis pas parvenu, comment a tu pu bidouiller pour arriver a ca ???

PS: Tim, en quelle classe est-tu ? Prépa? Master?

[Timothé Lefebvre]

Je suis en 1S :)

[benekire2]

D'accord!!

[Timothé Lefebvre]

Comment j'ai bidouillé ?

Eh bien je pars de l'inégalité montrée :



L'inégalité de Schur dit textuellement que et on a :



Dans notre cas on a n=1.

Je peux le démontrer, comme je le disais en ordonnant u, v et w. Ces variables sont symétriques donc je peux dire que .

Donc, et

En sommant le tout je retombe sur l'inégalité de Schur.

[benekire2]

Merci bein tim

[Timothé Lefebvre]

J'avais sinon une autre idée, je t'en ai parlé au début.

Si je multiplie deux fois par abc; voilà ce que j'ai :

(1)

Puis :

(2)

Soit, en multipliant ces deux trucs entre eux :

(3)

Étude de cas :

Si les facteurs de (1) sont tous positifs alors les trois facteurs de (3) sont positifs ce qui confirme mon inégalité de départ.

Si l'un des facteurs de (1) est strictement négatif alors là il faut examiner le signe des deux autres éléments qui composent (1).

[Zweig]

Salut,



Par permutation des variables, on obtient des inégalités similaires, soit par produit :



C'est-à-dire,

[fatal_error]

j'ai cru entendre lourd, alors j'accours

on va remplacer a,b et c par x,y et z definie sur R.
En repartant du dvpt de blackjack, on a :

On va cherche le maximum de f.

Par permutation pour les deux autres derivées partielles.
On cherche alors un point solution de , avec forcément

On remarque que 1 est solution evidente pour t, donc on déduit :

On calcule la hesienne H(1,1,1) pour t=1.

Puis on déduit par permutation.
soit :

On cherche a montrer quelle est def negative :
on a :

cad
avec valeur propre de . La matrice est donc définie négative, et admet donc un maximum local au point (1,1,1).

Ce maximum vaut

On fait de même pour
et on constate que c un min local qui nous interesse pas.

L'inégalité est donc vraie!!
sauf si une erreur s'est glissée. Bien sûr :--:

[Timothé Lefebvre]

Ben tiens, pourquoi n'y ai-je pas pensé plus tôt :lol:

[benekire2]

Ouais peut être surement même :doh: c'est vachement bourrin comme méthode

[Timothé Lefebvre]

Ouais c'est sûr, et comme on est pas censé connaître ni le calcul matriciel, ni les dérivées partielles au lycée (du moins ce n'est pas dans les programmes officiels) on est sûr de ne pas rencontrer ça !

N'empêche que c'est toujours marrant de défoncer la tronche d'une mouche avec une bombe atomique :D

EDIT : je dois avoir un ou deux exos à faire de cette manière si vous voulez ;)