Bonjour,
J'aimerais savoir comment faut-il raisonner pour lever l'indétermination d'une limite.
Il y a quelques jours j'ai eu un contrôle de math avec l'énoncé suivant :
Déterminer la limite au voisinage de plus l'infini de la fonction définie par :
f(x) = [exp ( ln(x) + 1 ) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
Comme on a une forme indéterminée, j'essaye de transformer la fonction :
f(x) = [exp ( ln(x) + 1 ) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
f(x) = [x * exp(1) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
puis là je bloque et j'essaye de réfléchir à plusieurs méthodes :
- faire apparaitre un taux de variation = inutile car la limite tend vers +infini
- factoriser avec le terme du plus haut degres = inutile car on a pas une fonction rationnelle
- utiliser les croissances comparées en transformant l'écriture de telle sorte à faire apparaitre : e(x) / x ou ln (x) /x = en vain
Plus tard, j'ai eu la correction de l'exercice.
f(x) = [exp ( ln(x) + 1 ) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
f(x) = [x * exp(1) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
f(x) = [x * exp(1) - ln ( exp(x) (1 + exp(-x) ) ] / x (A)
f(x) =[x * exp(1) - ln * exp(x) + ln * (1 + exp(-x)) ] / x
f(x) =[x * exp(1) - x + ln * (1 + exp(-x)) ] / x
f(x) =exp(1) - 1 + (ln * (1 + exp(-x)) / x ) (B)
pour x>1, on a 0< 1/x <1 et ln (1 + exp (-x)) > 0
d'où 0 < 1/x * [ ln (1 + exp (-x))] < ln (1 + exp (-x))
Donc par encadrement, au voisinage de plus l'infini,
lim ln (1 + exp (-x)) = 0
Donc lim f (x) = exp (1) - 1
En fait, tout le problème réside dans l'étape (A). Comment fallait-il faire pour penser à factoriser exp(x) + 1 en exp(x) * (1 + exp(-x)) ? Comment faut-il résonner ?
Une dernière chose, était-il possible de résoudre, la limite au voisinage de + l'infini de (ln * (1 + exp(-x)) / x ) par croissance comparée ? En justifiant que comme x croit plus vite que la fonction logarithme. Donc lim de (ln * (1 + exp(-x)) / x ) = 0 ? Est-ce correcte d'écrire que ln de n'importe quoi croit toujours plus lentement que la fonction x ?
Merci.
Limites - Lever la forme indéterminée - Méthodes ?
20 messages
- Page 1 sur 1
par anima » 30 Jan 2007, 19:40
f(x) = [exp ( ln(x) + 1 ) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
 = \frac{exp(ln(x)+1) - ln(exp(x)+1}{x})
exp(a+b) = exp(a)exp(b)
 = \frac{exp(ln(x))+exp(1)-ln(exp(x)+1)}{x})
 = \frac{x+e-ln(exp(x)+1)}{x} \\<br />= 1 + e/x - ln(exp(x)+1)/x)
Ce n'est plus une forme indéterminée. 1 tend vers..1
e/x tend vers zéro
exp(x)+1 tend vers l'infini, donc ln(exp(x)+1) tend vers l'infini MAIS c'est ln(truc)/x. Or, en cas de forme indéterminée, les puissances de x l'emportent toujours sur le logarithme (fonction réciproque de l'expo). On a donc lnx/x -> 0.
Le tout tend vers 1
exp(a+b) = exp(a)exp(b)
Ce n'est plus une forme indéterminée. 1 tend vers..1
e/x tend vers zéro
exp(x)+1 tend vers l'infini, donc ln(exp(x)+1) tend vers l'infini MAIS c'est ln(truc)/x. Or, en cas de forme indéterminée, les puissances de x l'emportent toujours sur le logarithme (fonction réciproque de l'expo). On a donc lnx/x -> 0.
Le tout tend vers 1
par maturin » 30 Jan 2007, 19:45
alors pour y penser c'est la même chose que quand tu dis avec une fraction rationnelle je divise par le terme de plus haut degré sauf que là tu factorises par l'exponentielle de plus haut degré, =e^x (1-e^{-x}))
pour ta relation ln est toujours plus petit que x c'est pas vrai.
Le logarithme d'un polynome est toujours plus petit qu'un polynome.
Mais pas le logarithme de n'importe quoi.
D'ailleur=x)
donc ça croit à la meme vitesse dans ce cas.
pour ta relation ln est toujours plus petit que x c'est pas vrai.
Le logarithme d'un polynome est toujours plus petit qu'un polynome.
Mais pas le logarithme de n'importe quoi.
D'ailleur
par maturin » 30 Jan 2007, 19:49
anima a écrit: Or, en cas de forme indéterminée, les puissances de x l'emportent toujours sur le logarithme (fonction réciproque de l'expo).
comme dit dans mon mail ceci est faut.
Les puissances de x l'emportent toujours sur le logarithme de puissance de x.
Elle ne l'emporte pas sur le logarithme d'une exponentielle)
donc la solution est celle que tu as eu et non celle d'anima.
et en plus tu as mal appliqué la formule en écrivant exp(lnx+1)=exp(lnx)+exp(1) au lieu de exp(lnx)*exp(1)
par boubouki » 30 Jan 2007, 19:53
Je ne comprends pas bien votre phrase "Le logarithme d'un polynome est toujours plus petit qu'un polynome."
Anima a utilisé les croissances comparées pour résoudre la limite de ln(exp(x)+1). Or exp(x) + 1 n'est pas un polynôme.
Anima a utilisé les croissances comparées pour résoudre la limite de ln(exp(x)+1). Or exp(x) + 1 n'est pas un polynôme.
par boubouki » 30 Jan 2007, 19:58
D'accord merci encore.
Un dernier truc, est-ce que l'on peut résoudre cette limite sans l'utilisation des développements limités ?
g(x) = [ cos (x) - racine de [(1-x)²] ] / x^4
Comment savoir si l'on est forcé de résoudre une limite avec les développements limités ou non ? Quelle raisonnement adoptez vous ?
Un dernier truc, est-ce que l'on peut résoudre cette limite sans l'utilisation des développements limités ?
g(x) = [ cos (x) - racine de [(1-x)²] ] / x^4
Comment savoir si l'on est forcé de résoudre une limite avec les développements limités ou non ? Quelle raisonnement adoptez vous ?
par maturin » 30 Jan 2007, 20:00
ben les formes classiques c'est }{x^b})=0)
si b>0 quelque soit a.
quand je parle de polynome je veux dire qu'à la place de
ça marche aussi avec 
mais bon ce que tu dois retenir c'est la formule si b>0 quelque soit a.
Elle marche avec tout a,b même avec des nombres non entiers (avec b>0).
Par exemple}{\sqrt{x}})=lim_{x\to \infty}(\frac{ln(x^a)}{(x)^{\frac{1}{2}}})=0)
quand je parle de polynome je veux dire qu'à la place de
mais bon ce que tu dois retenir c'est la formule
Elle marche avec tout a,b même avec des nombres non entiers (avec b>0).
Par exemple
par anima » 30 Jan 2007, 20:02
maturin a écrit:comme dit dans mon mail ceci est faut.
Les puissances de x l'emportent toujours sur le logarithme de puissance de x.
Elle ne l'emporte pas sur le logarithme d'une exponentielle)
donc la solution est celle que tu as eu et non celle d'anima.
et en plus tu as mal appliqué la formule en écrivant exp(lnx+1)=exp(lnx)+exp(1) au lieu de exp(lnx)*exp(1)
Pardon, je suis bête...
- la faute est une coquille
par maturin » 30 Jan 2007, 20:04
alors si tu connais les développements limités tu calcules toutes tes limites avec des developpement limité tu te poses meme plus la question :)
pour ton g(x) c'est toujours possible de le faire sans développement limité en cherchant des dérivées successives en 0. Mais ça revient à calculer les coeficient du développement limité de g(x)...
pour ton g(x) c'est toujours possible de le faire sans développement limité en cherchant des dérivées successives en 0. Mais ça revient à calculer les coeficient du développement limité de g(x)...
par anima » 30 Jan 2007, 20:07
maturin a écrit:alors si tu connais les développements limités tu calcules toutes tes limites avec des developpement limité tu te poses meme plus la question
pour ton g(x) c'est toujours possible de le faire sans développement limité en cherchant des dérivées successives en 0. Mais ça revient à calculer les coeficient du développement limité de g(x)...
Le DL en posant X=1/x n'est pas sympa du tout
par boubouki » 30 Jan 2007, 20:31
Mais comment sait-on quand il faut utiliser les développements limités ?
Par exemple, au contrôle on peut avoir : calculer la limite suivante :
h(x) = [exp(x²) - cos (x)] / x² quand x tend vers 0.
Alors, là j'ai deux solutions :
-soit j'essaye de résoudre la limite et de transformer l'écriture jusqu'à que je n'ai plus une forme indéterminée (1)
-soit j'utilise les DL (2)
Admettons que h(x) ne peut être résolu qu'à l'aide des DL. Donc si j'essaye la solution (1), je me rend compte que je n'arrive jamais à lever l'indétermination. Et il faut que je passe à la solution (2). Mais justement s'il n'est pas indiquer qu'il faut avoir recours au DL, comment le savoir ?
Vous me direz peut-être qu'il faudrait utiliser d'emblée les DL. Mais le problème c'est que ca prend du temps.
Par exemple, au contrôle on peut avoir : calculer la limite suivante :
h(x) = [exp(x²) - cos (x)] / x² quand x tend vers 0.
Alors, là j'ai deux solutions :
-soit j'essaye de résoudre la limite et de transformer l'écriture jusqu'à que je n'ai plus une forme indéterminée (1)
-soit j'utilise les DL (2)
Admettons que h(x) ne peut être résolu qu'à l'aide des DL. Donc si j'essaye la solution (1), je me rend compte que je n'arrive jamais à lever l'indétermination. Et il faut que je passe à la solution (2). Mais justement s'il n'est pas indiquer qu'il faut avoir recours au DL, comment le savoir ?
Vous me direz peut-être qu'il faudrait utiliser d'emblée les DL. Mais le problème c'est que ca prend du temps.
par anima » 31 Jan 2007, 11:44
boubouki a écrit:Mais comment sait-on quand il faut utiliser les développements limités ?
Par exemple, au contrôle on peut avoir : calculer la limite suivante :
h(x) = [exp(x²) - cos (x)] / x² quand x tend vers 0.
Alors, là j'ai deux solutions :
-soit j'essaye de résoudre la limite et de transformer l'écriture jusqu'à que je n'ai plus une forme indéterminée (1)
-soit j'utilise les DL (2)
Admettons que h(x) ne peut être résolu qu'à l'aide des DL. Donc si j'essaye la solution (1), je me rend compte que je n'arrive jamais à lever l'indétermination. Et il faut que je passe à la solution (2). Mais justement s'il n'est pas indiquer qu'il faut avoir recours au DL, comment le savoir ?
Vous me direz peut-être qu'il faudrait utiliser d'emblée les DL. Mais le problème c'est que ca prend du temps.
Le mieux, c'est d'essayer de transformer l'écriture. Si tu n'y arrives pas, tu sors l'artillerie lourde . Utiliser les DL pour un problème simple est une perte de temps (je le sais, je n'arrivais pas à lever une forme indéterminée à l'examen de maths et j'ai sorti les DL...En fait, lever l'indétermination était simple); par contre, essayer pendant 5 minutes de lever l'indétermination te permet parfois de sauver beaucoup de temps
par maturin » 31 Jan 2007, 11:47
ben le développement limité est ce qu'il y a de plus rapide.
Car quand la forme indeterminée est simple tu n'as pas besoin de pousser le DL très loin et les calculs sont simples.
Quand la forme indéterminée est plus complexe ben il faut pousser le DL plus loin c'est plus compliqué mais tu ne t'en sortiras sinon.
Après les DL ne marchent en +inf, c'est à dire elle ne marche pas pour les formes indéterminée
. Cela ne marche que pour les truc du genre 0/0.
ex: exp(x) n'a pas de développement limité en +infini
Car quand la forme indeterminée est simple tu n'as pas besoin de pousser le DL très loin et les calculs sont simples.
Quand la forme indéterminée est plus complexe ben il faut pousser le DL plus loin c'est plus compliqué mais tu ne t'en sortiras sinon.
Après les DL ne marchent en +inf, c'est à dire elle ne marche pas pour les formes indéterminée
ex: exp(x) n'a pas de développement limité en +infini
par anima » 31 Jan 2007, 11:55
maturin a écrit:ben le développement limité est ce qu'il y a de plus rapide.
Car quand la forme indeterminée est simple tu n'as pas besoin de pousser le DL très loin et les calculs sont simples.
Quand la forme indéterminée est plus complexe ben il faut pousser le DL plus loin c'est plus compliqué mais tu ne t'en sortiras sinon.
Après les DL ne marchent en +inf, c'est à dire elle ne marche pas pour les formes indéterminée
ex: exp(x) n'a pas de développement limité en +infini
Pourtant... On peut très bien renverser, poser X=1/x avec x->+oo et donc X=0, comme pour tous les autres DL. Après tout, (1+x)^1/2 tend vers l'infini aussi, et on en trouve le DL..... :ptdr:
par maturin » 31 Jan 2007, 12:08
bon c'est vrai que cela marche pour ton exemple mais bon faut factoriser par x^1/2 ou (1/X)^1/2. Et là on tombe sur un truc qui n'est plus de la forme inf/inf.
et puis je modère quand meme ce que j'ai dit pour utiliser toujours les DL quand tu peux. Faut pas non plus oublier les bases avec les formes classiques. Avec un peu d'exercice tu reconnais assez vite si tu as besoin ou non du DL.
Donc pour conclure, fait pleins d'exo et après tu seras à l'aise
:marteau:
et puis je modère quand meme ce que j'ai dit pour utiliser toujours les DL quand tu peux. Faut pas non plus oublier les bases avec les formes classiques. Avec un peu d'exercice tu reconnais assez vite si tu as besoin ou non du DL.
Donc pour conclure, fait pleins d'exo et après tu seras à l'aise
:marteau:
par anima » 31 Jan 2007, 12:32
J'suis en forme aujourd'hui:
f(x) = [exp ( ln(x) + 1 ) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
 = \frac{exp(ln(x))exp(1)-ln(exp(x)+1)}{x}<br />= \frac{ex - ln(exp(x)+1)}{x} \\<br />= e - \frac{ln(exp(x)+1)}{x})
Si je ne me suis pas planté :zen:
On prend les DL:
DL3(0) de exp(x): f(x) = 1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)
DL3(0) de ln(1+x):
DL3(0) de 1/1-x = 1+x+x^2+x^3+o(x^3)
donc DL3(0) de ln(1-x) = x+x^2/2+x^3/3+o(x^3)
et en changeant x en -x, on obtient ln(1+x) = -x+x^2/2-x^3/3+o(x^3)
Donc...
on pose X=1/x
ln(exp(1/X)+1) devient donc ln(1+1/X+1/2X^2+1/6X^3+o(X^3)+1)
ln(2+1/X+1/2X^2+o(X^2)) suffira amplement
Et...surprise! on ne peut pas obtenir ln(1+X) avec X->0. Game over pour les DL :doh:
f(x) = [exp ( ln(x) + 1 ) - ln ( exp(x) + 1 )] / x
Si je ne me suis pas planté :zen:
On prend les DL:
DL3(0) de exp(x): f(x) = 1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)
DL3(0) de ln(1+x):
DL3(0) de 1/1-x = 1+x+x^2+x^3+o(x^3)
donc DL3(0) de ln(1-x) = x+x^2/2+x^3/3+o(x^3)
et en changeant x en -x, on obtient ln(1+x) = -x+x^2/2-x^3/3+o(x^3)
Donc...
on pose X=1/x
ln(exp(1/X)+1) devient donc ln(1+1/X+1/2X^2+1/6X^3+o(X^3)+1)
ln(2+1/X+1/2X^2+o(X^2)) suffira amplement
Et...surprise! on ne peut pas obtenir ln(1+X) avec X->0. Game over pour les DL :doh:
par maturin » 31 Jan 2007, 13:03
oui là les DL ne marchent pas car on est en forme inf/inf
et quand tu écris ln(1+x)=x+x²+... quand x tend vers l'infini c'est les termes après le ... qui nous interessent puisque ce sont ceux de plus haut degré qui sont les plus fort.
L'interet est quand les termes de plus haut degré s'annulent c'est à dire quand x->0.
Tu n'as pas le droit de parler de o(x^3) en plus l'infini car les termes de puissance supérieures ne sont clairement pas petti devant x^3.
Donc les DL ne marchent que quand le x (ou le X après un changement de variable éventuel) tend vers 0.
et quand tu écris ln(1+x)=x+x²+... quand x tend vers l'infini c'est les termes après le ... qui nous interessent puisque ce sont ceux de plus haut degré qui sont les plus fort.
L'interet est quand les termes de plus haut degré s'annulent c'est à dire quand x->0.
Tu n'as pas le droit de parler de o(x^3) en plus l'infini car les termes de puissance supérieures ne sont clairement pas petti devant x^3.
Donc les DL ne marchent que quand le x (ou le X après un changement de variable éventuel) tend vers 0.
par maturin » 31 Jan 2007, 13:08
là tu n'as pas le droit d'appliquer le DL des exp(x) à exp(1/X).
Là le changement de variable ne change pas grand chose.
le DL connu est celui de exp(u(x)) quand u(x) tend vers 0 et non quand x tend vers 0. En gros dans ta formul tu parles d'un o(1/X^3) alors que 1/X^3 tend vers +inf et que les termes en 1/X^n sont encore plus grand...
Donc effectivement là on a une forme inf/inf et les DL ne marchent pas.
Là le changement de variable ne change pas grand chose.
le DL connu est celui de exp(u(x)) quand u(x) tend vers 0 et non quand x tend vers 0. En gros dans ta formul tu parles d'un o(1/X^3) alors que 1/X^3 tend vers +inf et que les termes en 1/X^n sont encore plus grand...
Donc effectivement là on a une forme inf/inf et les DL ne marchent pas.
par anima » 31 Jan 2007, 13:31
maturin a écrit:là tu n'as pas le droit d'appliquer le DL des exp(x) à exp(1/X).
Là le changement de variable ne change pas grand chose.
le DL connu est celui de exp(u(x)) quand u(x) tend vers 0 et non quand x tend vers 0. En gros dans ta formul tu parles d'un o(1/X^3) alors que 1/X^3 tend vers +inf et que les termes en 1/X^n sont encore plus grand...
Donc effectivement là on a une forme inf/inf et les DL ne marchent pas.
Oula pardon. J'suis pas en forme aujourd'hui. C'est o(X^3), et pareil pour f(X) etc... Je suis bête
(X -> 0 donc si j'ai le droit. C'est des fautes d'écriture que j'ai fait :ptdr: )
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