Probabilités

[rorororo1991]

Bonjour,

Avec un énoncé comme celui çi:

"Combien y a t'il de nombres à 6 chiffres dont la somme des chiffres vaut 9, dont le premier chiffre est supérieur ou égal à 2 et le dernier chiffre inférieur ou égal à 4?"

Je me dis qu'on doit distribuer 9 billes dans 6 urnes avec 2 conditions...

Lorsqu'il n'y a qu'une seule condition c'est simple mais comment faire pour combiner ces 2 conditions??

Dans la première urne, je peux avoir 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9 billes
Et dans la dernière, 4 ou 3 ou 2 ou 1 ou 0 ... Mais puisque le total doit valoir 9, il faut combiner... Comment faire? :hum:

[chan79]

Bonjour,

Avec un énoncé comme celui çi:

"Combien y a t'il de nombres à 6 chiffres dont la somme des chiffres vaut 9, dont le premier chiffre est supérieur ou égal à 2 et le dernier chiffre inférieur ou égal à 4?"

Je me dis qu'on doit distribuer 9 billes dans 6 urnes avec 2 conditions...

Lorsqu'il n'y a qu'une seule condition c'est simple mais comment faire pour combiner ces 2 conditions??

Dans la première urne, je peux avoir 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9 billes
Et dans la dernière, 4 ou 3 ou 2 ou 1 ou 0 ... Mais puisque le total doit valoir 9, il faut combiner... Comment faire? :hum:

Salut
C'est un exo donné à quel niveau de classe ?
En programmant une petite routine, c'est immédiat mais sinon ?

[geegee]

Bonjour,

Avec un énoncé comme celui çi:

"Combien y a t'il de nombres à 6 chiffres dont la somme des chiffres vaut 9, dont le premier chiffre est supérieur ou égal à 2 et le dernier chiffre inférieur ou égal à 4?"

Je me dis qu'on doit distribuer 9 billes dans 6 urnes avec 2 conditions...

Lorsqu'il n'y a qu'une seule condition c'est simple mais comment faire pour combiner ces 2 conditions??

Dans la première urne, je peux avoir 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9 billes
Et dans la dernière, 4 ou 3 ou 2 ou 1 ou 0 ... Mais puisque le total doit valoir 9, il faut combiner... Comment faire? :hum:

Bonjour,

a1a2a3a4a5a6
a1+a2+a3+a4+a5+a6=9
a1>2 a2<4

[gdlrdc]

Il faut être méthodique:
Considérons le couple du premier et du dernier chiffre et comptons les possibilités restantes ( les C(n,p) ).
(9;0) = 1 possibilité
(8;0)= C(4,3) et (8;1) =1
(7;0)= C(5,3) (7;1) = C(4,3) et (7;2) =1
(6;0)=C(6,3) (6;1) =C(5,3) (6;2)=C(4,3) et (6;3)=1
..................
(2;0) =C(10,3) (2;1)=C(9,3) (2;2)=C(8;3) (2;3)=C(7,3) (2;4)=C(6;3)

Puis en rassemblant les termes identiques, ça ne doit pas être si long à calculer.

[hammana]

Bonjour,

Avec un énoncé comme celui çi:

"Combien y a t'il de nombres à 6 chiffres dont la somme des chiffres vaut 9, dont le premier chiffre est supérieur ou égal à 2 et le dernier chiffre inférieur ou égal à 4?"

Je me dis qu'on doit distribuer 9 billes dans 6 urnes avec 2 conditions...

Lorsqu'il n'y a qu'une seule condition c'est simple mais comment faire pour combiner ces 2 conditions??

Dans la première urne, je peux avoir 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9 billes
Et dans la dernière, 4 ou 3 ou 2 ou 1 ou 0 ... Mais puisque le total doit valoir 9, il faut combiner... Comment faire? :hum:

Avec un peu de patience on peut faire le dénombrement en attaquant les groupes de chiffres 2 par2
le 2ème et 3èmr chiffre peuvent prendre toutes les valeurs de 0 à 9
Dressons un tableau indiquant le nombre de cas où chaque somme peut être obtenue.
Il faut évidemment se limiter à la somme 7

Somme 0 1 2 3 4 5 6 7
Cas 1 2 3 4 5 6 7 8
p.ex. la somme 5 peut être obtenue comme 0,5-1,4-2,3-3,2-4,1-5,0
le même tableau s'applique aux 4ème et 5ème chiffre
On peut alors dresser le tableau qui done le nombre de cas où lasomme des 4 chifres du milieu est égale à un valeur donnée. On se limite évidemment à 7 et on obtient:

somme 0 1 2 3 4 5 6 7
Cas 1 4 10 20 35 56 84 120

p.ex. les 56 cas de la somme 5 son obtenus en combinant les sommes 0,5-1,4-2,3-3,2-4,1-5,0
du tableau précédent, soit 2*(6*1+5*2+4*3)
Dresser le tableau du 1er et 6ème chiffre. Les ommes peuvent varier dans ce cas de 2 à 9

Somme 2 3 4 5 6 7 8 9
cas 1 2 3 4 5 5 5 5 5


en combinant ce tableau avec le précédent tu obtiens la somme cheerchée soit 771
(Je ne sais pas aligner les chiffres du tableau, Quelqu'un pourrait me le dire!)

Patience et bon courage, à moins que quelqu'un ne vienne avec une solution plus élégante

[chan79]

Avec un peu de patience on peut faire le dénombrement en attaquant les groupes de chiffres 2 par2
le 2ème et 3èmr chiffre peuvent prendre toutes les valeurs de 0 à 9
Dressons un tableau indiquant le nombre de cas où chaque somme peut être obtenue.
Il faut évidemment se limiter à la somme 7

Somme 0 1 2 3 4 5 6 7
Cas 1 2 3 4 5 6 7 8
p.ex. la somme 5 peut être obtenue comme 0,5-1,4-2,3-3,2-4,1-5,0
le même tableau s'applique aux 4ème et 5ème chiffre
On peut alors dresser le tableau qui done le nombre de cas où lasomme des 4 chifres du milieu est égale à un valeur donnée. On se limite évidemment à 7 et on obtient:

somme 0 1 2 3 4 5 6 7
Cas 1 4 10 20 35 56 84 120

p.ex. les 56 cas de la somme 5 son obtenus en combinant les sommes 0,5-1,4-2,3-3,2-4,1-5,0
du tableau précédent, soit 2*(6*1+5*2+4*3)
Dresser le tableau du 1er et 6ème chiffre. Les ommes peuvent varier dans ce cas de 2 à 9

Somme 2 3 4 5 6 7 8 9
cas 1 2 3 4 5 5 5 5 5


en combinant ce tableau avec le précédent tu obtiens la somme cherchée soit 771
(Je ne sais pas aligner les chiffres du tableau, Quelqu'un pourrait me le dire!)

Patience et bon courage, à moins que quelqu'un ne vienne avec une solution plus élégante

Salut
Je n'ai pas mieux qu'hammana et gdlrdc mais voilà ce que j'ai fait. J'ai cherché une formule qui donne le nombre de façons d'arriver une somme S avec les 4 chiffres centraux.
Ca donne . C'est en fait une combinaison; c'est celle qu'a utilisée gdlrdc mais je ne voyais pas trop pourquoi à priori. C'est sans doute un truc simple que je ne vois pas.
Ensuite j'ai envisagé les 30 cas avec les chiffres extrêmes pour voir quelle somme il faut ajouter.
Par exemple avec 3 ....4 il faut ajouter la somme S=2
J'ai résumé dans un tableau
colonne de gauche: les différentes sommes
colonne suivante: nombre de fois où cette somme est impliquée
Par exemple, la somme 6 apparaît deux fois avec 2....1 et 3....0
Colonne suivante: calcul de la somme avec la formule
Colonne suivante: on multiplie les deux colonnes précédentes
Il reste à ajouter pour avoir 771
[img][IMG]http://img526.imageshack.us/img526/9186/tabcp.png[/img][/IMG]

[gdlrdc]

Je n'ai pas mieux qu'hammana et gdlrdc mais voilà ce que j'ai fait. J'ai cherché une formule qui donne le nombre de façons d'arriver une somme S avec les 4 chiffres centraux.
Ca donne . C'est en fait une combinaison; c'est celle qu'a utilisée gdlrdc mais je ne voyais pas trop pourquoi à priori. C'est sans doute un truc simple que je ne vois pas.

En fait l'idée est simple Chan79.
Imagine qu'il y a 5 unités à partager entre les quatre chiffres centraux;
L'idée que j'utilise est la suivante:
J'utilise trois intercalaires pour séparer ces 5 unités en 4 paquets
Ca me fait 3 intercalaires à placer parmi 8 places possibles ( les autres sont prises par les unités)
_ _ _ _ _ _ _ _

exemples: 1 int int 1 1 int 1 1 ce qui donne 1022
int 1 1 1 int int 11 ce qui donne 0302

[chan79]

En fait l'idée est simple Chan79.
Imagine qu'il y a 5 unités à partager entre les quatre chiffres centraux;
L'idée que j'utilise est la suivante:
J'utilise trois intercalaires pour séparer ces 5 unités en 4 paquets
Ca me fait 3 intercalaires à placer parmi 8 places possibles ( les autres sont prises par les unités)
_ _ _ _ _ _ _ _

exemples: 1 int int 1 1 int 1 1 ce qui donne 1022
int 1 1 1 int int 11 ce qui donne 0302

ah oui, merci gdlrdc
en plus, j'avais déjà utilisé ça dans une autre discussion mais ça ne m'était pas venu à l'idée ici.
Ma démonstration pour la formule est beaucoup plus compliquée.
http://www.maths-forum.com/combinatoires-128339.php
A+

[sad13]

Bonjour à tous, pas évident comme exo mais j'aurais quelques questions:

*) je ne vois pas comment l'on obtient (S+1)(S+2)(S+3)/6?

Merci

[chan79]

ah oui, merci gdlrdc
en plus, j'avais déjà utilisé ça dans une autre discussion mais ça ne m'était pas venu à l'idée ici.
Ma démonstration pour la formule est beaucoup plus compliquée.
http://www.maths-forum.com/combinatoires-128339.php
A+

salut
tu as l'explication de gdlrdc ci-dessus ou bien le lien que j'ai mis ci-dessus aussi.
Grâce à cette méthode, on peut faire le même exercice avec un chiffre de plus ( 7 en tout) et avec les mêmes contraintes pour le chiffre de gauche et celui de droite.
La formule est alors
f(S)=(S+4)(S+3)(S+2)(S+1)/24
ça donne 1688

[rorororo1991]

Un très grand merci, j'ai fini par comprendre :++: C'était pas facile facile en tout cas!
Bonne journée !

[rorororo1991]

Par contre pour la formule ((S+1).(S+2).(S+3)) / 6

Le 6 c'est car il y a 6 chiffres, donc si on en avait 10 on diviserait pas 10 mais pour (S+1).(S+2).(S+3) ce sera toujours pareil quelque soit le nombre de chiffres?

Et si ce n'étaient pas le premier et dernier chiffres qui étaient impliqués, mais des chiffres n'importe où dans le nombre à 6 chiffres, on peut procéder exactement de la même façon?

[chan79]

Par contre pour la formule ((S+1).(S+2).(S+3)) / 6

ce sera toujours pareil quelque soit le nombre de chiffres?

salut
non, jette un petit coup d'oeil aux explications précédentes; avec 7 chiffres, on divise par 24
Par ailleurs, si tu connais algobox, tu peux vérifier en le résultat (771) imbriquant des boucles
[img][IMG]http://img11.imageshack.us/img11/9054/somme9.png[/img][/IMG]

[sad13]

Que désigne 771 ici? Le nombre de solutions si je comprends bien

Merci

[chan79]

Que désigne 771 ici? Le nombre de solutions si je comprends bien

Merci

oui, il y a bien 771 solutions avec 6 chiffres en tout

[chan79]

Et si ce n'étaient pas le premier et dernier chiffres qui étaient impliqués, mais des chiffres n'importe où dans le nombre à 6 chiffres, on peut procéder exactement de la même façon?

oui, mais la condition de supériorité à 2 pour le chiffre de gauche évite les nombres du genre 002412 qui ne sont plus à 6 chiffres si on enlève les zéros inutiles.

[rorororo1991]

J'arrive pas à comprendre pourquoi avec 7 chiffres ça donnerait ça:

f(S)=(S+4)(S+3)(S+2)(S+1)/24

:s

Pourquoi un (S+x) en plus ?
Pourquoi 24?

[chan79]

J'arrive pas à comprendre pourquoi avec 7 chiffres ça donnerait ça:

f(S)=(S+4)(S+3)(S+2)(S+1)/24

:s

Pourquoi un (S+x) en plus ?
Pourquoi 24?

Il y a une formule (voir le lien dans les messages précédents pour la démo) qui donne le nombre de façons d'obtenir une somme p en ajoutant N nombres. Cette formule donne
Par exemple, le nombre de façons d'obtenir 5 en ajoutant 3 nombres est soit 21
En effet, les sommes suivantes font 5
0+0+5 ; 0+1+4 ; 0+2+3 ; 0+3+2 ; 0+4+1 ; 0+5+0 ; 1+0+4
1+1+3 ;1+2+2 ; 1+3+1 ; 1+4+0 ; 2+0+3 ; 2+1+2 ; 2+2+1
2+3+0 ; 3+0+2 ; 3+1+1 ; 3+2+0 ; 4+0+1 ; 4+1+0 ; 5+0+0
Le nombre de façons d'obtenir 9 une somme S avec 4 nombres est ou soit
Le nombre de façons d'obtenir 9 une somme S avec 5 nombres est ou soit