Automorphismes orthogonaux maths sup

[redbird]

Bonjour,
Je n'arrive à résoudre aucun exercice d'une fiche. . .Merci de m'aider à résoudre celui-ci, ça compréhension m'aidera peut être pour les autres, je commence à perdre le moral:

Soient H et K deux hyperplans de E, un espace euclidien de dimension n, et sH, sK les symétries associées.
Démontrer que sH et sK commutent si et seulement si H=K ou H orthogonal est inclus dans K.

Je ne comprend pas très bien le rapport entre les symétries et la commutation. Les symétries orthogonales, par exemple sH, est uniquement par rapport à H? ou est ce par rapport à H parallèlement à K?
Pourriez vous me donner une piste pour la démonstration s'il vous plait

Merci par avance pour votre aide

Redbird

[Monsieur23]

Aloha,

Commençons par le début.

On suppose sH et sK commutent. On suppose que Hortho n'est pas inclu dans K. On veut montrer H=K. On commence par H inclu dans K.

Soit donc x dans H.

Tu peux lui appliquer sH o sK, et sK o sH.

[redbird]

Merci pour votre réponse.

Soit x dans H
sK o sH (x) appartient à K ? Je ne comprend pas très bien comment se font les symétries. sH (x) = x puisque x appartient à H mais sk(x) rentre dans quel ensemble?
sH o sK (x) c'est le même problème que juste avant
Je dois devoir utiliser les hypothèses de départ, mais pourriez vous m'expliquer ce que signifie la commutation pour les symétries?

Merci beaucoup pour votre aide

[Monsieur23]

On ne sait pas où est sK(x).

Mais l'égalité sH o sK = sK o sH prise en x te donne :

sH ( sK(x)) = sK(x) (puisque sH(x) = x)

Donc, sK(x) est fixé par sH. Que peux-tu en déduire ?

La commutation pour les symétries, c'est justement ce que tu essayes de montrer !

[redbird]

On peut en déduire que certaines symétries par H donne des symétries par K et donc que H est inclus dans K?

[Monsieur23]

Ça ne veut trop rien dire ça…

Pour répondre à ta question du début, j'imagine qu'on parle ici de symétries orthogonales…

Donc sK(x) fixe par sH, mais les seuls éléments de E stables par sH sont les éléments de H eux-mêmes.

Finalement, sK(x) est dans H.

Donc on a montré x dans H ;) sK(x) dans H.

Peux-tu en déduire quelque chose ?

[redbird]

x dans H -> sK(x) dans H alors soit H orthogonale à K soit H est inclus dans K, puisqu'il s'agit d'une symétrie orthogonale. et d'après nos hypothèses de départ, H est inclus dans K ?