Petites équations différentielles.

[eratos]

Les équations différentielles c'est un peu comme les développements limitées (attendez la fin de la phrase avant de dire :stupid_in ); du calcul ...du calcul... et encore du calcul (pas que, mais ça fait vite oublier tout le reste). Heureusement que ce ne sont que des résolutions d'equa diff linéaires du premier ordre que j'ai à traiter... :marteau:

on veut résoudre:

f'(x)+2f(x) = x²-2x+3 (*)

où f est continue et dérivable sur un intervalle ouvert de R.
1) 1ère question: le 2 devant f(x), c'est un vrai nombre ou c'est la fonction constante qui envoie tout les x sur 2, même question pour le 3 du second membre?

2) On peut commencer par résoudre f'(x)+ 2f(x)=0 (**)

On trouve la primitive de x->2 (j'ai ma réponse à 1)?), ce qui donne 2x (+constante)
D'après un théorème, une solution de (**) est . Notons la

Ensuite, on cherche un solution particulière , , des équations
respectives f'(x)+ 2f(x)=x², f'(x)+ 2f(x)=-2x, et f'(x)+ 2f(x)=3

La solution de (*) sera somme des solutions des équations précédentes. On a le droit hein? :id:
D'après un second théorème (avec lequel on peut tout faire), les solutions de (*) sont de forme où B est primitive de

comme :x ->x² est continue sur R, admet une primitive, notons la Une (voire même 2) petite intégration par partie plus tard, on trouve:
=1/2... Tout ça pour ça, rageant. :ptdr:

Ma méthode est bonne? je peux continuer?

[globule rouge]

Les équations différentielles c'est un peu comme les développements limitées (attendez la fin de la phrase avant de dire :stupid_in ); du calcul ...du calcul... et encore du calcul (pas que, mais ça fait vite oublier tout le reste). Heureusement que ce ne sont que des résolutions d'equa diff linéaires du premier ordre que j'ai à traiter... :marteau:

on veut résoudre:

f'(x)+2f(x) = x²-2x+3 (*)

où f est continue et dérivable sur un intervalle ouvert de R.
1) 1ère question: le 2 devant f(x), c'est un vrai nombre ou c'est la fonction constante qui envoie tout les x sur 2, même question pour le 3 du second membre?

2) On peut commencer par résoudre f'(x)+ 2f(x)=0 (**)

On trouve la primitive de x->2 (j'ai ma réponse à 1)?), ce qui donne 2x (+constante)
D'après un théorème, une solution de (**) est . Notons la

Ensuite, on cherche un solution particulière , , des équations
respectives f'(x)+ 2f(x)=x², f'(x)+ 2f(x)=-2x, et f'(x)+ 2f(x)=3

La solution de (*) sera somme des solutions des équations précédente. On a le droit hein? :id:
D'après un second théorème (avec lequel on peut tout faire), les solutions de (*) sont de forme où B est primitive de

comme b_{1}:x ->x² est continue sur R, admet une primitive, notons la Une (voire même 2) petite intégration par partie plus tard, on trouve:
=1/2... Tout ça pour ça, rageant. :ptdr:

Ma méthode est bonne? je peux continuer?

Hello
Je me permets d'intervenir sur ce topic ^^
Trouve un polynôme du second degré P(x) solution de cette équa diff puis avec ton equation (**), déduis-en les solutions Q(x) de (*) telles que (P-Q)(x) soit solution de (**).
Tu devrais t'en sortir normalement

Julie

[eratos]

Hello
Je me permets d'intervenir sur ce topic ^^
Trouve un polynôme du second degré P(x) solution de cette équa diff puis avec ton equation (**), déduis-en les solutions Q(x) de (*) telles que (P-Q)(x) soit solution de (**).
Tu devrais t'en sortir normalement

Julie

ça m'a l'air plus simple. :zen:
P(x) =(1/2)(x²-3x+9) est solution de (*).
La seule solution de (**) est le polynôme nul... Du coup P(x)=Q(x) donc il n'ya qu'une seule solution de l'équation (*)? ou je m'égare?

[globule rouge]

ça m'a l'air plus simple. :zen:
P(x) =(1/2)(x²-3x+9) est solution de (*).
La seule solution de (**) est le polynôme nul... Du coup P(x)=Q(x) donc il n'ya qu'une seule solution de l'équation (*)? ou je m'égare?

Si je ne me suis pas trompée, je pense que tu as fait une faute dans ton identification pour la constante c ^^
Toi tu trouves 9/2 tandis que moi je trouve 3/4...

Après, je ne voulais pas en venir là Il faut que tu montres que Q est solution de (*) si P-Q est solution de (**), puis que tu trouves les solutions de (**) (ça c'est aisé) et enfin que tu en déduises les solutions Q(x) !

[EMaths]

Salut,

Pour trouver une solution particulière de (*) il suffit de partir sur un polynôme de degré 2 P(x)=ax²+bx+c
Par identification dans (*) je trouve personnellement P(x)=1/2(x²-3x+9/2), mais je ne suis pas à l'abri d'un faux calcul (quoique, j'ai vérifié en le testant dans (*) ).

Pour le reste, il suffit de faire P(x)+solutions de (**), que tu as déjà trouvé, et tu aura les solutions générales à (*)

[Yaz]

Ma question doit surement être bête mais je la pose quand même.

C'est quoi la différence entre les différentielles et les dérivées?

[globule rouge]

Oh, bien j'ai dû me tromper ^^ !
La solution de Emaths est bien la bonne :++:

[eratos]

j'étais un peu afk, c'est à ce moment là que j'ai découvert la magie de la fonction exponentielle, truc de ouf: j'ai trouvé la solution.

Une autre pour la route. f'(x)+f(x)= (*)

f'(x)+f(x)=0 a pour solution

on cherche maintenant une primitive de c'est à dire de x, qui n'est ni plus ni moins que x²/2.
Les solutions de (*) sont donc de la formes x²/2.

Sinon Yaz, je pourrais pas te répondre.

[EMaths]

Ma question doit surement être bête mais je la pose quand même.

C'est quoi la différence entre les différentielles et les dérivées?

Pour les fonctions à une seule variable, c'est bonnet blanc et blanc bonnet.

[eratos]

encore une, suis bouillu.

f'(x)-2f(x)=cosx+2sinx (*)

On peut voir les solutions avec cosx et 2sinx à part puis les assembler. Mais yaurait pas une méthode plus maligne?
En attendant les experts, faisons la façon bourrin.

f'(x)-2f(x)=0
solution=

Resolvons f'(x)-2f(x)=cosx
on recherche donc une primitive pour cosx e^{-2x} , ce qui est possible.

on réitère.








On résout maintenant f'(x)-2f(x)=2sinx


Bref on se retrouve avec comme solution:

D'où n'importe quelle solution de (*) est du style ce qui est faux bien entendu :marteau:

Si personne veut vérifier je comprendrais :ptdr:

[globule rouge]

encore une, suis bouillu.

f'(x)-2f(x)=cosx+2sinx (*)

On peut voir les solutions avec cosx et 2sinx à part puis les assembler. Mais yaurait pas une méthode plus maligne?
En attendant les experts, faisons la façon bourrin.

f'(x)-2f(x)=0
solution=

Resolvons f'(x)-2f(x)=cosx
on recherche donc une primitive pour cosx e^{-2x} , ce qui est possible.

on réitère.








On résout maintenant f'(x)-2f(x)=2sinx


Bref on se retrouve avec comme solution:

D'où n'importe quelle solution de (*) est du style ce qui est faux bien entendu :marteau:

Si personne veut vérifier je comprendrais :ptdr:

Haha, t'es vraiment plus bourrin que moi en fait ! ^^
Réécrivons cette équation :


Maintenant, on intègre !

Et on obtient les solutions
A part si je me trompe bien entendu ^^

[chan79]

encore une, suis bouillu.

f'(x)-2f(x)=cosx+2sinx (*)

On peut voir les solutions avec cosx et 2sinx à part puis les assembler. Mais yaurait pas une méthode plus maligne?
En attendant les experts, faisons la façon bourrin.

f'(x)-2f(x)=0
solution=

Resolvons f'(x)-2f(x)=cosx
on recherche donc une primitive pour cosx e^{-2x} , ce qui est possible.

on réitère.








On résout maintenant f'(x)-2f(x)=2sinx


Bref on se retrouve avec comme solution:

D'où n'importe quelle solution de (*) est du style ce qui est faux bien entendu :marteau:

Si personne veut vérifier je comprendrais :ptdr:

salut
il faut chercher une solution particulière de la forme a*cos(x)+b*sin(x)
j'ai trouvé a=-4/5 et b=-3/5

[eratos]

salut
il faut chercher une solution particulière de la forme a*cos(x)+b*sin(x)
j'ai trouvé a=-4/5 et b=-3/5

Ouais, je ne suis pas envoyé au casse pipe avec cette méthode (ce qui est plus intelligent mais moins marrant). :lol3: Merci. je vais voir si je peux pas trouver d'autres exos.

Ah oui il y en a un, je me suis pas trop penché dessus... mais il me faut une primitive de 1/(1+e^x)... j'ai vaguement essayé avec un changement de variable qui ne mène à rien. ca ne doit pas être compliqué.

edit c'est bon.

[chan79]

Ouais, je ne suis pas envoyé au casse pipe avec cette méthode (ce qui est plus intelligent mais moins marrant). :lol3: Merci. je vais voir si je peux pas trouver d'autres exos.

Ah oui il y en a un, je me suis pas trop penché dessus... mais il me faut une primitive de 1/(1+e^x)... j'ai vaguement essayé avec un changement de variable qui ne mène à rien. ca ne doit pas être compliqué.

edit c'est bon.

la dérivée de ln(e^x + 1) est e^x/(e^x+1)
donx x - ln(e^x + 1) doit convenir