Introduction à l 'Analyse: caractéristique de e

[Asha]

Bonsoir à tous !! Pouvez-vous m'aider sur certaines questions de l'exercice suivant ?

Il s'agit d'établir la relation e = lim [1+(1/n)]^n lorsque n tend vers +;) puis d'obtenir des valeurs approchées de e. Pour cela, on étudie la fonction f définie sur ]-1;+;)[ par : f(x)= ln(1+x). (c) étant la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j)

A) Étude de f:

1) Dresser le tableau de variation de f. Donner l'équation de la tangente (;)) à (c) au point O. (C'est fait)

2) On veut prouver que, pour x > -1, ln(1+x) ;) x (1). Pour cela on considère la fonction g définie sur ]-1;+;)[ par : g(x)= x-ln(1+x)

a) Calculer la dérivée g' de g; étudier le signe de g'(x). (C'est fait)

b) En déduire les variations de g et prouver l'inégalité (1). (C'est fait)

c) Déduire de (1) la position de (c) par rapport à (;)). (C'est fait)

3) On se propose de prouver que, pour x > -1, x/(x+1) ;) ln(1+x) (2)
Pour cela, on considère la fonction h définie sur ]-1;+;)[ par : h(x) = x/(x+1)

a) Dresser le tableau de variation de h. (C'est fait)

b) En déduire que si x < -1, h(x) < 1. Prouver que ln[1-h(x)] ;) -h(x). (C'est fait)

c) En déduire l'inégalité (2).
(Dans l'inégalité précédente, j'ai remplacé h(x) par x/(x+1) mais je ne vois pas en quoi ça peut m'aider...)

d) (H) est la courbe représentative de h; préciser la position de (c) par rapport à (H). (C'est fait)

B) On considère les suites (Un) et (Vn) définies par :

Un = [1+(1/n)]^n et Vn = [1+(1/n)]^(n+1) avec n ;) 1

1) A l'aide de l'inégalité (1), montrer que pour tout entier n ;) 1, n * ln[1+(1/n)] ;) 1; en déduire que Un ;) e. (C'est fait)

2) A l'aide de l'inégalité (2), montrer que pour tout entier n ;) 1, 1 ;) (n+1) * ln[1+(1/n)]; en déduire que e ;) Vn. (C'est fait)

3) a) Établir que pour tout n ;) 1, Vn-Un = Un/n. (C'est fait)

b) En déduire que lim (Vn-Un) = 0 (C'est fait); montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers e.

(Pour la deuxième partie de la question, la seule option que je vois, c'est de prouver que les deux suites sont croissantes et décroissantes afin de montrer qu'elles sont adjacentes. Mais mon prof m'a dit qu'il y avait une autre possibilité plus simple, mais je ne vois pas...)

4) On admet que la suite de terme général Un/n est décroissante. En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier k ;) 1 tel que :

Uk/k ;) 1/10

Expliciter l'encadrement de e ainsi obtenu.

( Je ne vois pas ce qu'il faut faire pour la fin de la question. Pour k j'ai trouver k = 26,7).

Merci d'avance pour votre aide !!

[Corenn]

Il ne faut donc pas perdre de vue que k est un nombre entier donc k vaut...

[Asha]

J'ai réfléchi à la question et pour l'instant j'ai ça:

k=27, donc Uk/k ;) 1/10 devient : Uk/27 ;) 1/10 Uk ;) 27/10 Uk ;) 2,7 (=e)

Mais pour expliciter l'encadrement de e, je ne vois pas, surtout que pour le moment, e n'est pas encadré.

[Corenn]

Ok pour le 27

Pour obtenir l'autre inégalité, il faut que tu utilises la question 2.

[Asha]

Il faut utiliser e ;) Vn ? Du coup, faut-il faire Uk/k ;) 1/10 ou Vk/k ;) 1/10 ???