Bijection sur N

[zlamouche]

Bonjour,
Voilà j'ai une question pour laquelle je n'ai pas trouvée de réponse explicite sur le net, je ne sais pas si ce forum en présente une mais aux premiers abords il m'a semblé que non alors je me lance:
Si on considère un ensemble A infini en bijection avec N l'ensemble des entiers naturels. Puis un ensemble B dont A est une partie et dont on sait qu'il existe une injection de B dans N. Peut on dire alors que B est en bijection avec N?
Et si oui, quelqu'un a une piste pour la démonstration?

[ffpower]

Pour reformuler plus clairement ton énoncé:
S'il existe une injection de B dans N et une injection de N dans B, alors existe t-il une bijection entre N et B?

La réponse est oui: Il existe une injection de B dans N revient à dire que B est en bijection avec une partie B' de N, et il suffit donc de montrer que B' est en bijection avec N
Le fait qu'il existe une injection de N dans B assure que B' est infinie
Et toute partie infinie de N est en bijection avec N. La bij se construit comme suit:
1<->le plus petit élément de B'
2<->le 2eme plus petit élément de B'
3<->le 3eme plus petit élément de B'
ect..


Accessoirement, il est vrai d'une manière générale que s'il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A, alors il existe une bijection entre A et B. Mais c'est un peu plus dur à montrer

[zlamouche]

Merci beaucoup pour ton aide ! Maintenant je vois clairement de quoi il s'agit et je devrais pouvoir me débrouiller.
Bonne soirée !