Dé,rivé d'un determinant

[Skyneto]

Bonjour tous le monde,
bon voila j'ai essayé de démontré cette relation mais j'ai pas pu, j'espère que vous pouvez me donnée un coup de pousse et merci d'avance (demain j'ai un controle à ce sujet)

voila la propriété a démontré :

Si est une fonction de classe à valeurs dans les matrices carrées d'ordre n, alors est également de classe .
La formule de dérivation s'obtient en faisant intervenir les colonnes de A



Cette formule est analogue formellement à la dérivée d'un produit de n fonctions numériques.

[girdav]

Utilise et la formule de dérivation d'un produit de fonctions (c'est une généralisation).

[Skyneto]

Utilise et la formule de dérivation d'un produit de fonctions (c'est une généralisation).

Bonjour et merci infiniment pour votre réponse girdav, je l'est essayé déjà et sans résultat pouvez vous me montré comment vous lavez démontré.

Mes sincères salutations

[girdav]

On peut voir par une récurrence sur que , puis on injecte ça dans la dérivée des produits de la forme

[Maxmau]

Bj
Une autre piste
Posons: Ai(t+h) - Ai(t) = Di(t)
On peut utiliser la linéarité du déterminant par rapport aux colonnes pour développer
det(A1+D1,A2+D2,………,An+Dn)

[Skyneto]

Bj
Une autre piste
Posons: Ai(t+h) - Ai(t) = Di(t)
On peut utiliser la linéarité du déterminant par rapport aux colonnes pour développer
det(A1+D1,A2+D2,………,An+Dn)

j'ai pas bien saisie votre réponse, un ami déjà ma proposer la même mais j'ai pas arrivé à la faire avec le développement limité...

[Skyneto]

C'est quoi aussi Di(t) ?

[Maxmau]

j'ai pas bien saisie votre réponse, un ami déjà ma proposer la même mais j'ai pas arrivé à la faire avec le développement limité...

t fixé, par définition de Di(h) je pose Di(h)= Ai(t+h) - Ai(t) donc Di(h)/h tend vers A'i(t) (dérivée de Ai(t) au point t) lorsque h tend vers zéro
je note Di(h) =Di et Ai(t)=Ai dans la suite

preuve pour Pour n=3 (le cas général se traite de façon analogue) on a par linéarité:
Det(A1+D1,A2+D2,A3+D3) = Det(A1,A2,A3) +
Det(D1,A2,A3) + Det(A1,D2,A3) + det(A1,A2,D3) +h E(h) (voir remarque après)
Où E(h) tend vers zéro avec h
(1/h)[Det(A1+D1,A2+D2,A3+D3) - Det(A1,A2,A3)] =
Det(D1/h,A2,A3) + Det(A1,D2/h,A3) + det(A1,A2,D3/h) + E(h)
Il reste à faire tendre h vers zéro pour avoir la formule souhaitée.

remarque:
Det(A1+D1,A2+D2,A3+D3) = Det(A1,A2,A3) +
Det(D1,A2,A3) + Det(A1,D2,A3) + det(A1,A2,D3) + des termes de la forme det(D1,D2,A3)
ou det(D1,D2,D3).
Pour le terme de la forme det(D1,D2,A3) on a:
(1/h)det(D1,D2,A3) = det(D1/h,D2,A3) tend vers zéro puisque D1/h tend vers A'i(t) et D2 tend vers zéro (par continuité). det(D1,D2,A3)est donc égal à h multiplié par une quantité tendant vers zéro.
Même conclusion pourles termes dela forme det(D1,D2,D3).

[Maxmau]

C'est quoi aussi Di(t) ?

C'est plutôt Di(h) = Ai(t+h) - Ai(t) par déf