Convergence intégrale

[gaby44]

Bonjour,
Voici l'exercice:
"Montrer la convergence de l'intégrale , puis calculer cette intégrale (indications: trouver A,B, et C, tels que )"

J'ai trouvé A,B et C. On a A=B=C=1/2

Cependant, me voilà un peu gêné pour la convergence. Faut-il utiliser la premiere expression ( ) ou la seconde () ?
En utilisant la seconde,voici ce que j'ai fait:


-1/2[ln(x+1)](de 1 à t) avec t->+oo. Ce qui tend vers -oo donc la l'intégrale serait divergente.Or on veut montrer la convergence.
Avez-vous une piste qui pourrait m'aider à résoudre le problème?

[fibonacci]

Bonsoir;

elle est convergente pour

[gaby44]

Merci mais une idée pour la démonstration?
Je ne vois pas comment commencer,j'ai pourtant essayer.

[Maxmau]

Bonjour,

-1/2[ln(x+1)](de 1 à t) avec t->+oo. Ce qui tend vers -oo donc la l'intégrale serait divergente.Or on veut montrer la convergence.
Avez-vous une piste qui pourrait m'aider à résoudre le problème?

Bj
Tu n'as pas le droit d'écrire ça puisque les intégrales du second membre divergent
intègre de 1 à t, fais les calculs puis fais tendre t vers +infini à la fin

[fibonacci]

[Le_chat]

C'est pas parce que le terme tend vers 0 que l'intégrale converge. En revanche, ta fonction est continue sur [0,+l'infini[ et en l'infini, elle est équivalente à 1/x^2 qui est integrable, donc ça marche.

[fibonacci]

en fait c'est cela que je voulais signifier, j'ai manqué de rigueur.

[gaby44]

Merci pour vos réponses.

J'aurais une petite question:
Peut-on faire la démonstration en utlisant

(avec A=B=C=1/2).Parce que je suis étonné qu'il y a cette indication et qu'on s'en sert pas.

Merci :we:

[Le_chat]

Tu peux facilement trouver une primitive de la fonction , et ton intégrale sera la limite de la primitive en l'infini moins sa valeur en 0.

[gaby44]

Du coup pour la primitive de (1/2)/(x+1) , on a bien 1/2*ln(x+1) ?
Sauf que la limite en +oo est +oo et la valeur en 1 est 1/2*ln(2) => Donc ll'intégrale diverge? Or on veut montrer qu'elle converge...
Et pour (1/2*x+1/2)/(x²+1) , je ne vois pas trop comment trouver la primitive...Peut-être en factorisant par 1/2 : 1/2*(x+1)/(x²+1).Mais il n'y a pas de 2x au numérateur,ce qui aurait pu être 1/2 * ln (x²+1).
Une solution?

Merci beaucoup

[Le_chat]

bien sur , les primitives de 1/x+1 divergent, mais pas les primitives globales!

Tu connais une primitive de 1/(x^2+1)? de 2x/(x^2+1)? avec ça, ça doit faire l'affaire!

[gaby44]

bien sur , les primitives de 1/x+1 divergent, mais pas les primitives globales!

Quelle est la différence entre ces deux primitives?

Tu connais une primitive de 1/(x^2+1)? de 2x/(x^2+1)? avec ça, ça doit faire l'affaire!

Je pense avoir compris ton raisonnement. Il faudrait "couper" l'expression (1/2x+1/2)/(x²+1) en deux?
C'est à dire 1/4*(2x/x²+1) + 1/2* 1/(x²+1) .
La primitive de 1/4 * (2x / x²+1) => 1/4(ln(x²+1)
La primitive de 1/2*1/(x²+1) => 1/2(arctan(x))

Le souci c'est lorsque je cherche les limites.
La limite en +oo - la valeur en 1 de 1/4(ln(x²+1) => +oo
Donc (1/2x+1/2)/(x²+1) diverge.Or elle est censé être convergente,comme on la montrer auparavant.

Merci pour votre aide.

[Le_chat]

Justement, il faut que:

1) tu trouves une primitive de
2) lorsque que c'est fait, que tu calcules sa limite en +infini (qui doit exister, tu as montré que la fonction est integrable!), et soustrais y la valeur en 0!

[gaby44]

Justement, il faut que:

1) tu trouves une primitive de

Normalement, une primitive de est

2) lorsque que c'est fait, que tu calcules sa limite en +infini (qui doit exister, tu as montré que la fonction est integrable!), et soustrais y la valeur en 0!

On obtient une Forme indeterminé car .Idem pour . Avez-vous une idée pour enlever cette forme indeterminée?(On est censé trouvé 0 à la limite de .
J'ai essayé en "factorisant" ln avec ln(a)-ln(b)=ln(a/b), mais ça ne donne rien de très probant.

Merci de votre aide.

[Le_chat]

Utilise que 1/2*ln(1+x)=1/4*ln(1+x)^2, ça marche normalement!

[gaby44]

C'est pas parce que le terme tend vers 0 que l'intégrale converge. En revanche, ta fonction est continue sur [0,+l'infini[ et en l'infini, elle est équivalente à 1/x^2 qui est integrable, donc ça marche.

Et il n'y as pas une erreur ici car 1/x^2 n'est pas continue sur [0,+oo[ ?!