Suite Géométrique

[juju95]

Bonjours, mon professeur m'a donné un exercice faire, pouvez vous m'aider s'il vous plait parce que je bloque. Merci d'avance.

1) Soit p un entier et teta un réel non multiple entier de (2pi).

Montrer la formule suivante:

p
EPSILON e^i*k*teta =( sin((p+1/2)*teta)) / ( (sin teta/2))
k=-p

Comme je reconnais les termes de la suite géométrique, j'utilise la formule:

q
EPSILON z*k= ((z^q-1)-(z^p))/(z-1) aevc z != 1
k=p


ce qui donne : p
EPSILON (e^i*teta)^k =(( (e^(i*teta=)^(p-1)) - ((e^i*teta)^(-p))) / ((e^(i*teta))-1)

Donc e^i*teta-1 =

e^((i*teta/2)+(i*teta/2))-1

e^(teta/2) * ((e^((i*teta/2)-(1/(e^i*teta/2)))

e^(i*teta/2) * ( e^((i*teta/2)-e^(-i*teta/2))

c'est égal à 1/2i (sin(teta/2)

pour le dénominateur j'ai trouvé mais je n'arrive pas à trouver comment faire pour le dominateur , merci de m'aider.



2) pour n appartenant a N* , montrer que:


n p n
EPSILON ( EPSILON e ^i*k*teta)= EPSILON alpha*k,n^e*i*k*teta
, ou alpha k , n = n+1-|k|

Je ne sais pas comment faire



3) Monter , pour tout entier naturel n et tout réel teta non multiple de (2 pi) , la formule suivante:


n
EPSILON ((1-(|k|)/(n+1)) e^i*k*teta = (1/n+1)* )(( sin (((n+1)/2)*teta))/ (sin teta /2) )^2


Merci d'avance pour votre aide
k=-n
p=0 k=-p k=-p



k=-p

[Doraki]

tu as mal recopié/appliqué la formule

(somme pour k=p à q de z^k) * (z - 1) = z^(q+1) - z^p.