Dérivées et primitives

[bicenta]

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour faire cet exercice:
f est la fonction définie sur ] moins l'infini, -2[ par:
f(x)= x^2+4x+6/ (x+2)^2
a) prouver que f(x) est positif sur cet intervalle.
ma réponse: comme (x+2)^2 est un carré alors f(x) est positif sur cet intervalle

b) donner des réels a et b tels que x inférieur à -2:
f(x)= a +b/(x+2)^2
je n'ai pas trouvé

c) en déduire la primitive F de f sur cet intervalle qui prend la valeur 0 en -5
je sais le faire mais je n'ai pas trouvé la b donc ne peut pas le faire

je vous remercie d'avance

[messinmaisoui]

f(x)= x^2+4x+6/ (x+2)^2
a) prouver que f(x) est positif sur cet intervalle.
ma réponse: comme (x+2)^2 est un carré alors f(x) est positif sur cet intervalle


Hum ... et pour g(x) = - 1/ (x+2)^2
ta réponse aurait été la même ?
... comme (x+2)^2 est un carré alors f(x) est positif sur cet intervalle

Autre chose
f(x)= x^2+4x+[6/ (x+2)^2]
ou f(x)= (x^2+4x+6) / (x+2)^2

[bicenta]

pour f(x) c'est la deuxième proposition (x^2+4x+6)/(x+2)^2
pour montrer que f est positive sur cet intervalle je ne sais pas comment faire alors

[messinmaisoui]

pour f(x) c'est la deuxième proposition (x^2+4x+6)/(x+2)^2
pour montrer que f est positive sur cet intervalle je ne sais pas comment faire alors

Eh bien (x+2)^2 est positif ça on est d'accord
Il faut donc étudier le signe de x^2+4x+6 donc delta et étude de signes ok ?

[bicenta]

je trouve un delta négatif

[messinmaisoui]

je trouve un delta négatif

Ok et que donne la dérivée f'(x) ?

[messinmaisoui]

Si f'(x) est croissante sur ]-oo,-2[ et que l'on ne peut pas trouver x tel que f(x) = 0
on peut déjà tirer une conclusion je pense :hein:

Néamoins
Si f'(x) est croissante sur ]-oo,-2[ (grâce étude de signes de f'(x))
et si on calcule
Lim f(x)= x^2+4x+6/ (x+2)^2 quand x tend vers -oo
et
Lim f(x)= x^2+4x+6/ (x+2)^2 quand x tend vers -2

là on est sûr de prouver (avec certitude) ce qui est demandé !

[bicenta]

lim f(x) lorque x tend vers moins l'infini est plus l'infini et lim f(x) lorsque x tend vers -2 est 0.

[messinmaisoui]

lim f(x) lorque x tend vers moins l'infini est plus l'infini et lim f(x) lorsque x tend vers -2 est 0.

Pas vraiment ....

f(x) = (x^2+4x+6) / (x+2)^2
= [(x+2)^2 +2] / (x+2)^2
= 1 + 2 / (x+2)^2
Quand x tend vers moins l'infini f(x) tend vers ?

f(x) = (x^2+4x+6) / (x+2)^2
Quand x tend vers moins -2 f(x) devient 2/ (-2+2)² ex et tend vers ?

[bicenta]

donc f(x) tend vers moins l'infini lorque x tend vers moins l'infini ? et en -2 je ne vois pas

[messinmaisoui]

Pas vraiment ....

f(x) = (x^2+4x+6) / (x+2)^2
= [(x+2)^2 +2] / (x+2)^2
= 1 + 2 / (x+2)^2
Quand x tend vers moins l'infini f(x) tend vers ?

f(x) = (x^2+4x+6) / (x+2)^2
Quand x tend vers moins -2 f(x) devient 2/ (-2+2)² ex et tend vers ?

Pour x tend vers -OO alors f(x) tendra vers : 1 + 2/(-OO+2)^2 1+2/+OO 1

en prenant f(x) tel que donnée
Pour x tend vers -2 alors f(x) tendra vers : 2/ (-2+2)²
pour t'aider à comprendre 2/ (-2,00000001+2)²
+OO
ou
f(x) sous cette forme 1 + 2 / (x+2)^2
Pour x tend vers -2 alors f(x) tendra vers : 1 + 2/ (-2+2)²
1 + 2/ (-2,00000001+2)²
+OO
Toute façon on arrive au même résultat encore heureux :lol3:

[bicenta]

merci de m'avoir expliqué !!!
pour la question b) vous avez une idée ?

[messinmaisoui]

merci de m'avoir expliqué !!!
pour la question b) vous avez une idée ?

b) donner des réels a et b tels que x inférieur à -2:
f(x)= a +b/(x+2)^2

Je ne comprends pas la question :hein:

[Pixis]

Ok et que donne la dérivée f'(x) ?

Juste une petite remarque :
Dans le cas général, ax²+bx+c, avec un delta négatif :
Il suffit de regarder le signe de a
ici a=1 donc a>0 donc parabole tournée "vers le haut" (du même type que x²) donc positif. Pas besoin de passer par la dérivée ou les limites ou etc ...

[fibonacci]

Bonjour;

b)



en réduisant au même dénominateur:





il n'y a plus de dénominateur donc on peut faire



on obtient deux relations

d'où a et b

et


c)



après avoir trouvé on a

[messinmaisoui]

Juste une petite remarque :
Dans le cas général, ax²+bx+c, avec un delta négatif :
Il suffit de regarder le signe de a
ici a=1 donc a>0 donc parabole tournée "vers le haut" (du même type que x²) donc positif. Pas besoin de passer par la dérivée ou les limites ou etc ...

Bonne remarque effectivement

[bicenta]

Pixis ta solution me paraît plus claire !
Fibonacci je ne comprend pas pourquoi x=0 ?!
Merci à tous de votre aide !

[Pixis]

Non, il ne dit pas que x=0

En fait tu as :
Dans le membre de droite, tu réduits au même dénominateur :


Les dénominateurs étant maintenant les mêmes de chaque côté de l'égalité, on peut dire que les numérateurs sont égaux, ce qui donne :



Or cette relation est vraie quelque soit x
En particulier, pour x = 0
Ce qui veut dire que tu as


Mais elle est aussi vraie, par exemple, pour x=-2
En remplaçant x par -2, tu vas trouver encore une autre relation.

Tu as donc maintenant 2 équations à 2 inconnues (tes inconnues sont et )
Donne nous les deux relations obtenues, et tente de résoudre le système associé

[bicenta]

merci j'ai trouvé la question b) grâce au systeme de deux equations ;)

[Pixis]

Tu as trouvé quoi ?