Congruence spé maths TS

[Matis54]

Bonjour voilà l'énoncé de l'exercice :

1)Soit n un entier qui n'est pas multiple de 7.Démontrer que n^3 =(congru) 1(mod7) ou -1(mod).

2)En déduire que pour tout x appartenant à Z, x=(congru) 0(mod 7) équivaut x^3=(congru) 0(mod 7).

3)Soient ;),;) et ;) trois entiers relatifs tels que ;)^3+;)^3+;)^3 =(congru) 0(7).
Démontrer qu'au moins un des entiers ;),;) ou ;) est congru à 0 modulo 7.

4)La réciproque de la question précédente est-elle vraie ?

Je n'arrive pas à demarrer, je ne vois pas quoi faire à la première question . Doit t'on trouver un entier K pour n .
Merci de votre réponse.

[vincentroumezy]

Bonjour.
Tu peux faire un tableau de congruences.
Si n n'est pas congru à 0 mod 7, alors il est congru à 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 mod 7.
Si n est congru à 1 mod 7 alors n^3 est congru à....mod 7, etc....

[Matis54]

merci c'est bon je vois comment faire . Peut on également résoudre la question 3 par un tableau ?

[vincentroumezy]

Je e ferais plutôt par l'absurde, si aucun des trois st divisible par 7, alors d'après la première question, le cube de chacun est congru à 1 ou -1 mod 7, donc....