Congruence dans N spé maths

[bgirlfunky]

Bonjour, alors voici mon exercice dans lequel il y a des questions que je n'arrive pas à répondre.

Etant donné un entier naturel, n > ou égal à 2, on se propose d'étudier l'existence de 3 entiers naturels x, y et z tels que :
x²+y²+z²congru à 2^n -1 modulo 2^n
1)on suppose que n =2, montrer que 1,3 et 5 satisfont à la condition précedente.je l'ai fait ça, c'est bon.
2)on suppose que n=3
a)soit m un entier naturel et on nous demande de compléter un tableau donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m² par 8.
la première ligne du tableau donne le rete de la division de m par 8, on a dc 1,2,3,4,5,6 et7
la deuxième ligne du tableau où il faut donner la valeur de R est à compléter. En fait, est-ce que je dois tout simplement multiplier les nombres par eux-mêmes?

b)Peut on trouver 3 entiers naturels x, y et z tels que x²+y²+z² congru à 7 modulo 8?
J'ai trouvé les trois nombres (2,5 et 8) mais je ne sais pas si il faut que je le démontre ou non.
3)cas général ou n > ou égal à 3, on suppose qu'il existe 3 entiers naturels x, y et z tels que x²+y²+z² congru à 2^n-1 modulo 2^n.
a)justifier le fait que les 3 entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux exactement d'entre eux sont pairs. Je n'arrive pas du tout cette question, pouvez vous m'aider svp?

[flaja]

bonsoir,
n=2 : mod 4 : x = 1, 2, 3 => x² = 1, 0, 1 [4] => 1² + 3² + 5² = 1 + 1 + 1 = 3 [4]
n=3 : mod 8 : x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 => x² = 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 [8] => impossible,
d'ailleurs : 2² + 5² + 8² = 4 + 1 + 0 = 5 pas 7
modulo un nombre pair : un nombre pair est pair et un nombre impair est impair
le carré d'un pair est pair et ...
7 étant impair, il faut effectivement 'pair + pair + impair' ou 'impair + impair + impair'

[Imod]

Bonjour , il y a beaucoup à revoir ...

1) Rien à redire .
2) Je ne vois pas trop ce que tu veux dire , les restes de la division de m^2 par 8 ne sont pas quelconques et rendent l'égalité impossible .
3) Un entier et son carré ont la même parité , il reste à se demander comment la somme de 3 entiers peut être impaire .

Imod

[bgirlfunky]

merci j'ai compris maintenant.

après pour la question b),on suppose que x et y sont pairs et z impair.
on pose alors x=2q, y =2r et z=2s+1 avec q, r et s appartenant à N.

on demande de montrer que x²+y²+z² congru à 1 modulo 4
alors j'ai dit que 2q==0(mod2); 2r==0(mod2) et 2s+1==1(mod2)
donc (2q)²+(2r)²+(2s+1)²==1(mod2)
donc 2q²+2r²+(2s+1)²-1==0(mod2) donc c'est un multiple de 2.
et si c'est un multiple de 2 à fortiori c'est un multiple de 4.
donc 2q²+2r²+(2s+1)²-1==0(mod4)
donc x²+y²+z²==1(mod4)
ensuite on dit d'en déduire une contradiction, là je vois vraiment pas.
c)on suppose que x, y et z sont impairs.
prouver que pour tout entier naturel k non nul, k²+k est divisible par 2.je ne comprends pas non plus comment on fait.
vous pouvez m'aider un peu svp? merci d'avance.

[BancH]

prouver que pour tout entier naturel k non nul, k²+k est divisible par 2.je ne comprends pas non plus comment on fait.
vous pouvez m'aider un peu svp? merci d'avance.

Si est pair, quelle est la parité de ?
Si est impair, quelle est la parité de ?