Exercice barycentre/vecteur

[marba]

J'ai un DM de maths et l'un des exercices porte sur le thème de barycentre que je n'ai jamais étudié. C'est donc une total découverte et pour l'instant un casse tête.
Voici l'exercice

Léa fabrique un mobile (imaginer un segment [SL] avec un point g le barycentre placé dessus et à chaque extrémité su segment il y a un poids)

La masse de la tige est négligeable. La la Lune L a pour masse mL et le Soleil S a pour masse mS. Ces deux masses sont non nulles.
Léa veut savoir en quel point, noté G, accrocher le fil pour que son mobile reste en équilibre.
D'après la loi d'Archimède il y a équilibre lorsque:

mS X GS = mL X GL

1) Que peut on dire des directions et des sens des vecteurs (vec)GS et (vec)GL?

Ici J'ai répondu, (vec)GS= direction: (GS) et sens: de G vers S
puis (vec)GL= direction: (GL) et sens: de G vers L
Les sens et directions de ces deux vecteurs sont opposés

(merci de m'indiquer si la réponse est juste s'il vous plait)

2) En déduire que mS X (vec)GS + mL X (vec)GL = (vec)O

Ici je ne vois pas trop comment faire puisque si à partir de la loi on fait passer un membre de l'autre coté on a une soustraction: (mS X (vec)GS)-(mL X (vec)GL)= (vec)0 et non pas une addition.
Dois-je dire qu'une longueur est toujours positive?

3)Exprimer (vec)SG en fonction du vecteur (vec)SL et en déduire qu'il existe une unique position de G pour laquelle l'équilibre est assuré.

J'ai trouvé (vec)SL= (vec)SG+(vec)GL
(vec)SG=(vec)LG+(vec)SL

Mais après je ne vois pas ce que je peux faire. Ai-je bien exprime SG en fonction de SL? si oui Comment peut on en déduire l'unique position de G? là est la grande question...

On arrive presque à la fin!

4) a) SI mS=mL, où est situé le point G?

Là je suppose que dans ce cas G est au milieu du segment SL. Mais comment le démontrer...

b)SI mS=30g et mL=10g où est situé le point G?
(je crois qu'il faut répondre à la question 3 avant)


Merci d'avance j'ai vraiment besoin d'aide. Je cherche depuis deux jours sans succès.

[messinmaisoui]

Vecteur et distance, prenons un exemple concret

Soit G barycentre de (A; 1) et (B ; 2)
Soit A(5,0) et B(10,0) situés sur l'axe des abscisses (pour simplifier)

On cherche G situé aussi vraisemblablement sur l'axe des abscisses

alors distance AB = |(10-5)| = 5 une distance est toujours positive

on a
vecteur(GA) + 2 vecteur(GB) = vecteur(0)
Soit G(xg;yg) cherchons xg et yg

vecteur(GA) de coordonnées (5-xg;-yg)
vecteur(GB) de coordonnées (10-xg;-yg)

vecteur(GA) + 2 vecteur(GB) de coordonnées (5-xg +2(10-xg); -3 yg)
soit (15-3xg; -3 yg)

Si vecteur(GA) + 2 vecteur(GB) = vecteur(0)

25 - 3 xg = 0
et
-3 Yg = 0


xg = 25/3
et
yg =0

donc G(25/3;0) dans notre cas

Passons aux distances maintenant
calculons
distance GA = |5-(25/3)| = |-10/3| = 10/3
distance GB = |10-(25/3)| = 5/3

et GA = 2 GB

Sinon pour en revenir à l'exercice
Pour 3) relation de chasles ...

mS X (vec)GS + mL X (vec)GL = (vec)O
- mS X (vec)SG + mL X [(vec)GS +(vec)SL] = (vec)O
- mS X (vec)SG + mL X [-(vec)SG +(vec)SL] = (vec)O
...

Pour 4)
Alors
mS X GS = mL X GL
devient
GS = GL

et

mS X (vec)GS + mL X (vec)GL = (vec)O
devient
(vec)GS + (vec)GL = (vec)O