Suite et récurrence

[todeschini31]

Bonjour à tous,
J'ai un petit problème concernant cet exercice :

On considère la suite (Un) définie par : U0=1 et quelque soit n appartenant à N Un+1 = 1/2(Un+(2/Un))

1. Montrer par récurrence que Un > 0 pour tout n appartenant à N
2. Montrer par récurrence que Un est un nombre rationnel pour tout n appartenant à N

Voila ce que j'ai fais pour l'instant :
1. Pour n = 0 on a U0 = 1 > 0 la proposition est vrai pour le premier terme

On suppose la proposition vrai pour un certain n appartenant à N, vérifions qu'elle l'est toujours pour n+1
Un+1 = 1/2(Un+(2/Un))
On suppose que Un > 0 donc 2/Un > 0 , si on y ajoute Un cela reste > 0 et si on le multiplie par 1/2 c'est toujours > 0.

Donc Un+1 > 0 pour Un > 0, et U0 > 0 donc Un > 0 quelque soit n appartenant à N.

2. La je n'ai aucune idée par contre hormis

Pour n = 0 on a U0 = 1 = 1/1 fraction irréductible donc nombre rationnel vrai pour le premier terme


Voila j'espère que vous pourrez m'éclairez :)

[Exquise Sensation]

Bonjour à tous,
J'ai un petit problème concernant cet exercice :

On considère la suite (Un) définie par : U0=1 et quelque soit n appartenant à N Un+1 = 1/2(Un+(2/Un))

1. Montrer par récurrence que Un > 0 pour tout n appartenant à N
2. Montrer par récurrence que Un est un nombre rationnel pour tout n appartenant à N

Voila ce que j'ai fais pour l'instant :
1. Pour n = 0 on a U0 = 1 > 0 la proposition est vrai pour le premier terme

On suppose la proposition vrai pour un certain n appartenant à N, vérifions qu'elle l'est toujours pour n+1
Un+1 = 1/2(Un+(2/Un))
On suppose que Un > 0 donc 2/Un > 0 , si on y ajoute Un cela reste > 0 et si on le multiplie par 1/2 c'est toujours > 0.

Donc Un+1 > 0 pour Un > 0, et U0 > 0 donc Un > 0 quelque soit n appartenant à N.

2. La je n'ai aucune idée par contre hormis

Pour n = 0 on a U0 = 1 = 1/1 fraction irréductible donc nombre rationnel vrai pour le premier terme


Voila j'espère que vous pourrez m'éclairez

Ta question 1 est bien faite.
Pour la 2 la seule difficultée est de formalisé l'hypothèse "Un est un rationnel" quand tu fais ta récurrence.

Tu peux l'écrire Un=p/q ou p et q sont des entiers quelconques avec q non nul et tu cherche à mettre Un+1 sous la forme p'/q' où p' est un entier et q' un entier non nul. Ou bien tu peux utiliser le fait que l'ensemble des rationnels est un anneau pour dire directement que Un+1 est un rationnel

[todeschini31]

Merci Exquise, je vais voir ce que je peux faire avec ça, j'ai une autre question qui correspond à la suite de l'exercice j'ai la fonction f(x)=1/2(x+2/x)

On me demande de dérivé cette fonction je fais donc f(x) = 1/2x+2/2x => f(x) = (x²+2)/2x mais là je ne suis pas sûr que ce soit la formule u'v-uv'/v²
cela me donne -1/x²