Congruence : TS

par **Mario64** » 27 Oct 2011, 10:06

On se propose de démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre A(n)=7^n+12n-1
1) Quel est le reste de la division euclidienne de 7^3 par 9 ? ( je trouve 1 )
2) Soit n un entier naturel, q et r son quotient et reste dans la division euclidienne par 3. Montrer qu'alors 7^n est congru a 7^r modulo 9. ( là, je bloque )
En déduire les restes possibles de de la division euclidienne par 9 de 7^n, selon les différentes valeurs possibles de r. ( je trouve que r=1 ou r=4 ou r=7 )
3) Demontrer que pour tout naturel n, A(n) est divisible par 9. ( là, je bloque aussi )

Pouvez vous m'aider! SVP !! Je fais cet exercice par moi même pour me préparer au contrôle :error: mais j'ai du mal ...

par **SaintAmand** » 27 Oct 2011, 11:07

Bonjour,

Mario64 a écrit:On se propose de démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre A(n)=7^n+12n-1
2) Soit n un entier naturel, q et r son quotient et reste dans la division euclidienne par 3. Montrer qu'alors 7^n est congru a 7^r modulo 9. ( là, je bloque )

Il suffit d'écrire la division euclidienne et d'utiliser les propriétés des congruences.

par **Mario64** » 27 Oct 2011, 12:28

Boujours SaintAmand,

2) En traduisant l'enoncé, on obtient : n=q*3+r

Donc : 7^n=7^q*3+7^r ?
Quand tu dis " on utilise ensuite les propriétés des congruences, tu entends par là lesquelles ?

par **SaintAmand** » 27 Oct 2011, 14:26

Mario64 a écrit:
2) En traduisant l'enoncé, on obtient : n=q*3+r

Oui.

Donc : 7^n=7^q*3+7^r ?

Allez zou, 30' minutes au coin les mains sur la tête ensuite tu essaieras de retrouver ton cours de quatrième sur les puissances.

Quand tu dis " on utilise ensuite les propriétés des congruences, tu entends par là lesquelles ?

Des trucs du genre

par **Mario64** » 27 Oct 2011, 15:51

Elles vont nous servir a quoi les propriétés de congruences ?

par **Mario64** » 27 Oct 2011, 16:02

On a,
n=q*3+r donc n est congru à r modulo 3.
De plus,
7^3=38*9+1 donc 7^3 est congru a 1 modulo 9

DONC : 7^n est congru a 1^r modulo 3. On sais par ailleurs que 9 est un multiple de 3 donc on peux dire que 7^n est congru à 1^r modulo 9 ? Mais j arrive pas a 7^n=7^r(3)

par **Jota Be** » 27 Oct 2011, 16:35

ouh, comment peux-tu dire que si un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par 9 ? Prends les premiers multiples de 3 inférieurs à 9 et tu verras tout de suite !

par **SaintAmand** » 27 Oct 2011, 16:38

Mario64 a écrit:On a,
n=q*3+r

Donc

par **Mario64** » 27 Oct 2011, 17:26

Jota be tu as entièrement raison, je suis entrain de faire n'importe quoi !

Ba euh, vu que n=3*q+r, 7^n=7^3*7^q+7^r ? J ai plus de mes cours de 4EME ... ;'(

par **SaintAmand** » 27 Oct 2011, 18:06

Mario64 a écrit:Jota be tu as entièrement raison, je suis entrain de faire n'importe quoi !

Ba euh, vu que n=3*q+r, 7^n=7^3*7^q+7^r ? J ai plus de mes cours de 4EME ... ;'(

Quelle règle de calcul sur les puissances t'a permis d'écrire cette égalité ?

par **Mario64** » 27 Oct 2011, 20:19

Je sais pas, je connais plus les règles des puissances a 4eme, dit les stp pour me m'aider.

par **SaintAmand** » 28 Oct 2011, 07:01

Mario64 a écrit:Je sais pas, je connais plus les règles des puissances a 4eme, dit les stp pour me m'aider.

Pourtant il t'a bien fallu en utiliser une (même si elle est fausse) pour écrire 7^n=7^3*7^q+7^r. En maths, tant que tu n'es pas capable de justifier chacun de tes calculs et de tes raisonnements, tu ne peux pas prétendre avoir compris.

Pour les règles, je ne vais pas perdre du temps à te faire un cours que tu trouveras dans n'importe quel manuel parce-que tu as la flemme, d'autant que c'est d'un cours complet avec des exercices dont tu as besoin et non d'un simple rappel des règles que tu ne comprendras pas.

http://manuel.sesamath.net

par **Mario64** » 28 Oct 2011, 08:34

Merci de ton site. Je suis aller voir (car je n'ai pas la flemme comme tu le dis). En regardant les règles sur les puissances de 4ème, je n ai pas compris pourquoi tu m'y envoies. Ces règles sont la base et je l'ai connais. Le problème ici, c'est que je sais pas trop comment résoudre cet questions 2). J'ai essayé plain de choses mais rien n'a marché.
Pour moi, 7^n=3*q+7^r.

P.S: Les règles des puissance dans le livre de 4éme parle juste de 25=5² a*10^3 ... Ou est lintérêt ?

par **SaintAmand** » 28 Oct 2011, 12:45

Mario64 a écrit: En regardant les règles sur les puissances de 4ème, je n ai pas compris pourquoi tu m'y envoies. Ces règles sont la base et je l'ai connais. Le problème ici, c'est que je sais pas trop comment résoudre cet questions 2). J'ai essayé plain de choses mais rien n'a marché.
Pour moi, 7^n=3*q+7^r.

C'est toi qui m'a dit ne pas les connaitre. Donc puisque tu les connais si bien, tu es capable de justifier le passage de n=3q+r à 7^n=3*q+7^r.

par **Mario64** » 28 Oct 2011, 13:31

Oui mais comment tu veux que je te justifie ça ! Les règles sur les puissances de 4ème ont RIEN a voir avec ça.

par **SaintAmand** » 28 Oct 2011, 13:51

Mario64 a écrit:Oui mais comment tu veux que je te justifie ça ! Les règles sur les puissances de 4ème ont RIEN a voir avec ça.

Vraiment ? Il te fallait utiliser la règle

valable pour a réel et n,m entiers relatifs non nuls, plutôt que celle-ci

qui est fausse.

par **Mario64** » 28 Oct 2011, 18:46

Mais ou est le rapprochement alors ?

par **SaintAmand** » 28 Oct 2011, 19:34

Mario64 a écrit:Mais ou est le rapprochement alors ?

Je comprend pas. Corrige ton erreur.

par **Mario64** » 28 Oct 2011, 20:14

Mais je peux pas passer de n=3*q+r à 7^n= ... directement ?
Si oui, est-ce que mon erreur est grosse ?

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