Suite Ts

par **BadMen** » 15 Oct 2011, 16:34

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les suites , et je sais pas quelle méthode appliquer le voici :
On a U0 = 10 et Un+1 = (1/2)Un +1

1) Démontrer que la suite u est décroissante
2)-minorée par 0
3)Déterminer sa limite.

merci beaucoup de votre éventuelle aide

par **BadMen** » 15 Oct 2011, 20:04

une piste peut-être? :hum:

par **XENSECP** » 15 Oct 2011, 21:00

J'aurais bien envie de te proposer d'introduire une suite Vn :
Vn = Un - 2

Cela te permettra d'y voir + clair ;)

par **BadMen** » 15 Oct 2011, 22:17

je n'y vois pas plus clair :doh:

par **XENSECP** » 15 Oct 2011, 22:50

Si l'exo est tel quel, il faut passer par la suite auxiliaire que je t'ai donné et qui est "particulière" ;)

par **Skullkid** » 15 Oct 2011, 23:04

XENSECP a écrit:Si l'exo est tel quel, il faut passer par la suite auxiliaire que je t'ai donné et qui est "particulière"

Je ne pense pas... la suite que tu proposes permet de donner une expression générale de Un en fonction de n, ce qui n'est pas demandé.

BadMen, la suite qu'on te demande d'étudier est du type U(n+1) = f(Un), tu as normalement dans ton cours les liens qu'il peut y avoir entre les variations de f et les variations de (Un), ainsi qu'une méthode permettant de trouver la limite, lorsqu'elle existe, de ce type de suite.

Quant à la question 2, une récurrence fait l'affaire.

par **BadMen** » 16 Oct 2011, 13:45

f(x) = 1/2x + 1
Je dois étudier le signe?

par **Skullkid** » 16 Oct 2011, 15:01

Non, tu as normalement dans ton cours le lien entre les variations de f et les variations de (Un), ou sans doute un exemple qui illustre ce lien. Ici, f est croissante, donc...

par **BadMen** » 16 Oct 2011, 15:29

donc Un est croissante sauf qu'elle est décroissante non ?

par **Skullkid** » 16 Oct 2011, 15:45

Non mais il faut réfléchir un peu aussi... le fait que f est croissante n'implique pas que U soit croissante. En revanche ça implique que U est monotone (à toi de le prouver si tu n'as pas ça dans ton cours). Pour déterminer le sens de variation de U il suffit alors de regarder dans quel ordre sont rangés les deux premiers termes.

par **BadMen** » 16 Oct 2011, 16:23

Monotome je n'ai pas vu ca.
Comment ca dans quel ordre ? le deuxieme terme est plus petit donc la suite est décroissante mais a quoi ca sert d'utiliser la fonction alors ?

par **Skullkid** » 16 Oct 2011, 16:51

Parce qu'en général le fait que le deuxième terme soit plus petit que le premier n'implique absolument pas que la suite est décroissante. Mais, ici, la suite est une suite U(n+1) = f(Un) avec f une fonction croissante.

U1 <= U0, donc que dire de U2 par rapport à U1 ?

par **BadMen** » 16 Oct 2011, 20:04

Skullkid a écrit:Parce qu'en général le fait que le deuxième terme soit plus petit que le premier n'implique absolument pas que la suite est décroissante. Mais, ici, la suite est une suite U(n+1) = f(Un) avec f une fonction croissante.

U1 <= U0, donc que dire de U2 par rapport à U1 ?

La même chose, U2 <= U0
mais je ne comprends pas pourquoi on fait ca....

par **Skullkid** » 16 Oct 2011, 20:47

Non, comparer U2 et U0 ne sert à rien pour déterminer le sens de variation de la suite. Ça veut dire quoi qu'une suite est décroissante ? Autrement dit, est-ce que tu sais au moins ce qu'on essaye de montrer ?

par **Jota Be** » 16 Oct 2011, 20:48

Bonsoir,
pour la 1, il n'y a pas besoin (à vue d'oeil) de se casser la tête. La différence (Un+1)-Un suffit.
Pour la deux, je renchéris : une récurrence est plus que bienvenue.
Pour la trois, déterminez la limite (en où au fait ?) de f(x)=(1/2)x+1

par **Skullkid** » 16 Oct 2011, 21:15

Jota Be a écrit:Bonsoir,
pour la 1, il n'y a pas besoin (à vue d'oeil) de se casser la tête. La différence (Un+1)-Un suffit.

Le souci c'est que U(n+1) - Un = 1 - Un/2 donc montrer que U est décroissante avec cette méthode revient à montrer que U est minorée par 2, ce qui n'est pas très compliqué mais ne semble pas être l'esprit de l'exercice, puisque la deuxième question est de montrer que U est minorée par 0.

par **BadMen** » 16 Oct 2011, 21:35

Skullkid a écrit:Non, comparer U2 et U0 ne sert à rien pour déterminer le sens de variation de la suite. Ça veut dire quoi qu'une suite est décroissante ? Autrement dit, est-ce que tu sais au moins ce qu'on essaye de montrer ?

oui que Un+1 <= Un

par **Skullkid** » 16 Oct 2011, 21:42

Voilà. Or, tu sais que :

- Pour tout n, U(n+1) = f(Un)
- f est croissante (c'est quoi la définition de "être croissante" ?)
- U1 <= U0

De ces trois propositions, on veut déduire : pour tout n, U(n+1) <= Un. Vu qu'on sait que cette inégalité est vraie pour n=0, et qu'on a un lien entre Un et U(n+1) grâce à f, une démonstration par récurrence semble s'imposer.

par **BadMen** » 16 Oct 2011, 22:24

Ah moi et les récurrences on fait 2 mais bon j'vais essayer
d'abord il faut trouver la propriété Pn ?
Pn : Un+1 <= Un c'est ca ?

par **Skullkid** » 16 Oct 2011, 23:00

L'objectif de la récurrence EST de montrer une propriété. On ne commence pas une récurrence en montrant la propriété qu'on veut démontrer grâce à la récurrence, ça n'a pas de sens... Mais, oui, la propriété qu'on cherche à montrer c'est bien que U(n+1) <= Un pour tout entier n.

Va revoir le raisonnement par récurrence. Si tu ne l'as pas bien compris ça ne sert à rien d'essayer de faire l'exercice. L'idée de la récurrence est assez intuitive : si je sais comment monter d'une marche dans un escalier, il suffit qu'on me mette sur une marche au départ pour que je sache monter tout l'escalier.

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