Développements limités de quotients

[ethereal]

Bonjour,

Je cherche le DL en 0 et à l'ordre 4 de la fonction f(x) = x/sin(x).

Le corrigé indique qu'il faut substituer à sin(x) son DL à l'ordre 5 en 0 pour que l'on ait, après simplification par x de la fraction, un DL d'ordre 4 au dénominateur.

Pour ma part, je pars du fait que :
(1) x est le DL de x à l'ordre 4 en 0.
(2) x-x^3/(3!)+(le reste^4) est le DL de x à l'ordre 4 en 0.

Une proposition de cours stipule que pour obtenir le DL d'ordre 4 d'un quotient, il suffit de faire le quotient des DL d'ordre 4 et de simplifier, ce qui est la méthode que j'ai d'appliquée au vu de (1) et (2).

Mais cette méthode est contraire à la solution proposée, de par le résultat obtenu.
Pouvez-vous me dire, s'il vous plaît, où se trouve mon erreur ?

[Touriste]

Bonjour,

Savoir à quel ordre on pousse les DL vient avec l'habitude !
Dans le cas de ton exemple, si tu fais un DL de sin à l'ordre 4, tu as :
.
L'étape suivante est de mettre le dénominateur sous la forme 1+X avec X tendant vers 0. Pour cela on factorise par x. Il vient donc
.
A partir de là, tu vois que le résultat ne sera pas en mais en ...

[ethereal]

C'est noté, merci Touriste.