Etude fonction

[yaya12]

Bonjour ,

J'ai du mal avec l'exercice suivant :
Je me suis inspiré de http://www.ilemaths.net/forum-sujet-390563.html

Donc l'énoncé est :
Soit f la fonction définie sur par : f(x)=x²(2-x) si x [0,2[ et f (x+2) = f(x) pour tout x .
A) Étudier la restriction de f à [0,2[.
B) Montrer que (x)=1 admet deux solutions seulement sur [0,2[.
C) Comment déduit-on la courbe représentative de la restriction de f, notée , à l'intervalle = [2n,2n+2], où n .
D) Démontrer que pour tout x I, f(x) = (x-2n)²(2n+2-x).


Pour la A) j'ai calculé f '(x) et j'ai trouvé –3x²+4x. J'ai ensuite calculé les racines et j'ai trouvé 3/4 et 0.
Ensuite j'ai fait le tableau de variation de la fonction f : sur ]- ; 0] f(x) décroît, sur [0;4/3] f(x) croit et sur [4/3 ; + [ f(x) décroît.

Cela vous semble juste ?

Pour la B), j'ai montré que (x)=1 admet deux solutions seulement sur [0,2[ en utilisant le théorème de la bijection. Est-ce que je dois préciser les valeurs des deux solutions dans cet exercice ?

Pour la C) et D), je ne vois pas comment faire ?

[Nightmare]

Salut,

Non ça ne va pas, tu as mal compris la définition de f.

f n'est pas la fonction x->x²(2-x) , en tout cas pas sur R tout entier. f(x) vaut effectivement x²(2-x SUR [0;2[ mais ensuite on obtient tous les points par 2-périodicité.

Par exemple, f(3)=f(1+2)=f(1)=1²(2-1)=1 (alors que 3²(2-3)=-9)

Pour la question A) on te demande d'étudier f sur [0;2[ !

[yaya12]

D'accord.

Pouvez-vous m'aider pour la question C ?

[Nightmare]

Tu as la réponse dans mon précédent message : Une fois la courbe construite sur [0;2[ le reste de la courbe se construit en "copiant" infiniment le motif obtenu sur [0;2[

[yaya12]

Oui je vois que la courbe est périodique mais je ne comprends pas comment le montrer.

[Nightmare]

Tu n'as pas à le montrer, on te définit la fonction comme étant périodique dans l'énoncé :

Je cite :

Soit f la fonction définie sur par : si et pour

[yaya12]

Quand on dit comment déduit-on la courbe représentative, j'ai juste besoin de dire que c'est la même courbe représentative que sur [0;2[ modulo 2pi ?

[Nightmare]

modulo 2pi ? Que vient faire pi là dedans?

Je t'ai donné des exemples de calculs, à généraliser : Pour calculer f(x) pour x un réel quelconque on sait deux choses :

f(x)=x²(2-x) pour 0 <= x < 2 et pour n'importe quel x , f(x+2)=f(x).

Pourquoi est-ce suffisant pour définir correctement f sur R tout entier? Parce que quel que soit le nombre réel x, on pourra toujours lui retirer suffisamment de fois le nombre 2 jusqu'à tomber dans [0;2[.

Par exemple si l'on veut calculer f(157), on écrit que donc

[yaya12]

D'accord.

Pour la D voila ce que j'ai fait :

Soit la propriété :

Pour n=0 :

et
donc est vraie.

Supposons que soit vraie et montrons que est vraie.

Je suis bloquée ici.

[yaya12]

? ?

[Nightmare]

Tu n'as pas besoin de récurrence, ça découle encore une fois de la 2-périodicité de f :

Si x appartient à [2n;2n+1], alors on a . Et comme si Truc est dans [0,1], f(Truc)=Truc²(2-Truc), alors Et comme f est 2-périodique,