Décomposition d'intègrales

[president]

Bonjour à tous,

j'essaie actuellement de résoudre une intégrale, et pour se faire, je la découpe en deux, cependant, je ne suis pas sûr des bornes. Je vous propose ma démarche, et pouvez-vous me dire si je me trompe ou pas. merci.

Problème :

soit:



pour résoudre cette intégrale, je pose :



Avec :


Et :


Ainsi :



Ainsi, pour calculer l'intégrale de gauche, je peux le faire en calculant les deux intégrales de droite et sommer leur solution.

Soit :

Pour résoudre, les intégrales de droites, j'utilise la méthode de séparation des variables :


Et :


Ainsi je peux calculer :


Et :



Et là je doute sur les bornes des intégrales des membres de droite.
En effet, une fois que j'ai la solution analytique, à t0, j'ai 2 fois la valeur initiale x0, au lieu d'une fois.

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire où je me trompe, ou ce que je dois faire?

en vous remerciant par avance.


PS : est-ce normal qu'il y a des bugs d'affichage en utilisant le code LATEX?

[JeanJ]

Bonjour,

d'abord un conseil : ne t'occupe pas des bornes d'intégration. Considère des intégrales indéfinies. Il sera toujours temps, après que l'équation sera résolue, de se préocuper des constantes d'intégration si l'énoncé du problème impose des conditions aux limites (ce qui n'est pas le cas puisqu'il n'y a pas de conditions supplémentaires dans l'énoncé de ta question).
Cette question de bornes d'intégration n'est pas du tout le vrai problème qui te bloque.
Tu es arrivé à deux intégrales qui sont impossible à intégrer indépendemment l'une de l'autre.
Par exemple, regarde la première : il y a dx1 au numérateur et au dénominateur une fonction qui n'est pas uniquement fonction de x1, mais fonction de x=x1+x2. Pour qu'elle soit intégrable, il faudrait que ce soit une fonction de x1 seul (et pas de x2). Donc impossible à intégrer.
Désolé de décevoir, mais cette méthode de séparation en x1 et x2 est vouée à l'échec.

[president]

Bonsoir,

avant tout merci pour votre réponse.
J'ai bien compris ce que vous avez dit, et je comprends maintenant l'inefficacité de la méthode utilisée.

c'est dommage, il me fallait trouver absolument une solution à cette équation... :hum:

va falloir être smart, et trouver une autre méthode.

encore merci !

[JeanJ]

va falloir être smart, et trouver une autre méthode

Il va même falloir être beaucoup plus que smart !!!
Bien que la méthode soit connue : c'est une équation de Riccati.
On sait transformer une équation de Riccati en une équation linéaire du second ordre.
C'est ensuite que les difficultés vont apparaitre, car on ne sait pas résoudre analytiquement toutes les équations linéaires du second ordre. On sait en résoudre certaines avec les fonction usuelles, d'autres avec des fonctions spéciales plus ou moins compliquées et pour beaucoup d'autres il n'y a pas eu d'étude pour définir la fonction spéciale appropriée.
Avec un aussi grand nombre de paramètres dans ton équation (bien qu'on puisse en réduire un peu le nombre par des changements convenables), il y a peu de chance que tu arrives à résoudre l'équation linéaire du second ordre.
Tu aurais plus de chance de réussir s'il y avait moins de paramètres quelconques dans l'équation différentielle, ou si certains paramètres n'étaient pas quelconques mais avaient des valeurs particulières favorables.

[president]

Bonjour,

encore merci pour votre réponse.

En effet, il s'agit d'une équation de type Riccati. J'avais déjà regardé des méthodes de résolution, où par un changement de variable on pouvait se ramener à une équation de Bernoulli, soit linéaire du second ordre. Cependant, étant donné que j'ai un second membre, cela nécessite de connaitre une solution particulière pour résoudre l'équation de Bernoulli. Et bien sûr, je ne l'ai pas :we:

Bref, je suis arrivé à cette équation parce que j'ai modélisé ma problématique d'une certaine manière. Il ne reste plus qu'à modéliser différemment pour pouvoir trouver une équation....acceptable d'un point de vue résolution.
Dans tous les cas, il me reste la solution "intégration numérique" sous le coude. Qui fonctionne tout le temps, peut importe l'équation...

Mais bon, c'est si élégant d'avoir des solutions analytiques....représentant si joliment le comportement physique de ce que l'on modélise.

Grand merci à vous,

cordialement. :lol3:

[JeanJ]

En effet, il s'agit d'une équation de type Riccati. J'avais déjà regardé des méthodes de résolution, où par un changement de variable on pouvait se ramener à une équation de Bernoulli, soit linéaire du second ordre. Cependant, étant donné que j'ai un second membre, cela nécessite de connaitre une solution particulière pour résoudre l'équation de Bernoulli. Et bien sûr, je ne l'ai pas.

Avec des changements appropriés, on évite de passer par une équation de Bernoulli. Päs besoin de solution particulière pour arriver à une équation linéaire du second ordre.
Malheureusement, sur ce site, il n'est pas possible de joindre la copie (.jpg) de la page manuscrite où le calcul est fait et qui donne l'équa. diff. linéaire.
Il n'est pas question pour moi de dactylographier tout cela en Latex, je n'ai pas le temps.
Si cela t'intéresse, contacte moi par la messagerie du site et je pourrai t'envoyer la copie du document par e-mail.

[president]

merci bien.
je vous contacte par message privé.

[JeanJ]

Envoi effectué.