Le nombre d'or.

[handball]

Bonjour, voici l'énoncé.
On considère un rectangle de proportion k tel que k=L/l.
On découpe le carré pour obtenir un autre rectangle.
On veut déterminer k de sorte que le petit rectangle obtenu ait les mêmes proportions que le rectangle initial.

1) Justifier que l'on doit avoir k=L/l.
2) Montrer que l'on obtient l'équation k²=k+1.
3) En déduire le rapport k.

Les rectangles ayant ces proportions sont appelés "rectangle d'or". Le rapport k est appelé "nombre d'or" pour la place qu'il tient en architecture, peinture, musique,... Tout comme , ce nombre a mérité un nom : phi. Ce rapport serait, d'après certains, celui des proportions les plus harmonieuses. Ce rapport se retrouve dans la Grande Pyramide de Khéops dont la base est carrée. HERODOTE, historien grec, prétend que la surface de chaque face de la Grande Pyramide est égale à l'aire du carré ayant pour côté la hauteur de la pyramide.

4) Soit AEBCD une pyramide. La base ABCD est un carré de centre O. On pose SI=a et OI=r.
Calculer l'aire de la face SAB en fonction de r et de a.
5) Montrer que l'affirmation d'Hérodote peut s'écrire a²-r²=ar
6) On pose k=a/r.
Démontrer que, comme le prétendait Hérodote, ce rapport k est le nombre d'or phi (utilisez la question 2)


J'ai réussi toutes les questions, sauf la 6 qui me bloque, je ne vois pas du tout comment faire. Pouvez vous m'aidez svp? Merci!

[Monsieur23]

Aloha,

Dans a²-r²=ar, divise des deux côtés par r².
Tu vas pouvoir reconnaitre k :-)

[handball]

et donc k= ? Mais quoi d'autre?

[Monsieur23]

Euh, non, en divisant par r² ça donne :

(a/r)²-1=a/r

[handball]

OOOPS désolée!
Donc k²-1=k donc k²-k-1=0
De là je calcule delta, et j'obtiens k=
Mais pourquoi phi=k ?

[Monsieur23]

Indice : k²-k-1=0 si et seulement si k²=k+1.
De là, utiliser la question 2 :lol3:

[handball]

Je suis désolée je vois pas du tout !

[Monsieur23]

Ben ton k est solution de la même équation que l'équation du nombre d'or.

Donc ils sont égaux.

[handball]

Merci bcp !