Exercice fonction

[Ju4lienx]

Bonsoir à tous,
Je ne suis pas vraiment fier de devoir venir ici mais j'ai vraiment besoin d'aide et je suis persuadé que c'est sur ce forum que je trouverais une aide extérieure.

Je suis un élève de TerminaleES, et mon exercice porte sur les fonctions.
L'énoncé de l'exercie est :

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= x²-1/x²+1
La première question : Etudier les variations de f.
2. Déteminer l'équation de la tangente T1 au point d'abscisse 1.

Pour le moment, ces deux questions me posent problèmes.
Je précise que mon niveau en Maths est assez laborieux, mais que j'y consacre plus de temps que les autres matières afin de limiter la casse..
Merci à tout ceux qui prendront la peine de m'aider :)

[annick]

Bonjour,
pour étudier les variations de ta fonction, tu dois commencer par calculer sa dérivée.

[Ju4lienx]

La dérivée de f(x) est : f'(x)

u/v = (u'v-v'u)/v² ?

[Ju4lienx]

f'(x) = 2x-1/2x+1 ?

[annick]

Ta fonction f est f(x)= x²-1/x²+1

Elle n'est donc pas de la forme u/v !

C'est une somme de termes, donc sa dérivée est la somme des dérivées de chacun des termes.

quelle est la dérivée de x² ? celle de -1/x² ? celle de 1 ?

[Ju4lienx]

J'abandonne.
Merci quand même :]

[annick]

Ah! je sais, voulais-tu écrire (x)= (x²-1)/(x²+1) ce qui ne revient pas au même ? Si c'est le cas, effectivement f est de la forme u/v

[Ju4lienx]

Je retente ! Oui c'est ce que je voulais écrire.
Donc la dérivée est (2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x)/(x²-1)² = 4x/(x²-1)² ?

Et après avoir trouver ce résultat, que faire?

[annick]

Bon, alors cette fois, je suis d'accord avec ta dérivée.

Maintenant, il faut que tu étudies son signe, ce qui n'est pas très dur. En effet, le dénominateur est un carré, donc toujours positif.
Le signe de ta dérivée ne dépendra donc que du signe du numérateur.

Pour quelles valeurs de x, 4x est-il positif ? Quand est-il négatif ? Quand est-il nul ?

Quand la dérivée est positive, la fonction est croissante, quand elle est négative, la fonction est décroissante et quand elle est nulle, il y a un maximum ou un minimum.

Enfin, je te conseillerai de rentrer cette fonction dans ta calculatrice et de faire tracer son graphe pour vérifier tes réponses.

[Ju4lienx]

Merci beaucoup pour cette aide !

Là, je dois faire mon tableau de variations donc je calcule 4x=0 et (x²-1)²=0 ?
Ensuite je fais mon tableau de signe puis de variation ?

Je pense que pour cette question c'est bon..
Mais pour la tangente, je comprends pas du tout ce qu'il faut faire..

[annick]

Bon, j'ai lu un peu vite : tu trouves 4x/(x²-1)² et en fait c'est 4x/(x²+1)²

Il n'y a pas de valeurs interdites car x²+1 ne s'annule pas. De plus (x²+1)² est toujours positif.

Tu ne t'intéresse donc qu'au numérateur q4x, qui s'annule pour x=0, est négatif avant et positif après?

Ta fonction est donc décroissante jusqu'à x=0, a un minimum pour x=0, avec f(0)=-1 et est croissante pour x>0.

Pour déterminer l'équation de la tangente en un point d'abscisse x0, on a une formule :

y=f'(x0)(x-x0)+f(x0). Ici x0=1, donc tu calcules f(1), f'(1) et tu remplaces dans la formule, puis tu arranges ça pour retrouver une forme y=ax+b

[Ju4lienx]

f:f(x) = 4x/(x²+1)²
Le coeff directeur de la tangente au pt d'abscisse 1 est :*
f'(1) = 4x1/(1²+1)² = 4/4 ;
f(1) = 1²-1/1²+1 (et là j'pense avoir faux)

Ces données permettraient de construire la tangente et après je pourrais calculer avec la formule que vous m'avez donnée pour obtenir ax+b, je voudrais savoir si je me suis pas trompé dans mes calculs?

[Ju4lienx]

f'(1)=4*1/(1²+1)²=4/4=1
f(1)1²-1/1²+1=0

y=1(x-1)+0
y=1x-1
Le nmbre -1 est l'ordonnée à l'origine.

au point d'abscisse -1:
f'(-1)=4*(-1)/(-1²+1)²=-4/4=-1
f(1)=-1²*(-1)/-1²+1=-1/2=-0.5

y=-1(x-(-1))-0.5
y=-1x-1-0.5
y=-1x-1.5
-1.5 est l'ordonnée à l'origine.

Question c) il me demande de calculer f'(0), donc je m'éxécute :
f'(0)=4*0/(0²+1)²=0
Puis me demander ce que l'on peut déduire pour la tangente T0 au pt d'abscisse 0 ? Je ne vois pas du tout..

[annick]

Je n'étais plus là, mais me re voilà.

Tu as trouvé :
f'(1)=4*1/(1²+1)²=4/4=1
f(1)1²-1/1²+1=0

y=1(x-1)+0
y=1x-1

Donc l'équation de ta tangente au point d'abscisse x=1 est y=x-1

Au fait, tu peux le vérifier sur ta calculatrice, en rentrant ta fonction et la droite y=x-1 et en voyant sur le graphique si cette droite est bien tangente à la courbe en x=1

Je ne comprends pas la suite de ton raisonnement !

pour la question suivante, si f'(0)=0 cela veut dire que l'on a pour la tangente une droite de coefficient directeur nul, c'est à dire une droite horizontale. Ta tangente au point d'abscisse x=0 est donc horizontale, ce qui est toujours vrai quand on a un extremum.

[Ju4lienx]

La suite de mon raisonnement était en fait une autre question comme celle précédente mais ou le point d'abscisse était -1. Désolé je me suis mal exprimé.

Je tiens à vous remercier de votre aide et de m'avoir consacrer du temps. Votre aide m'a permit de comprendre plusieurs notions du cours et de savoir ce que je faisais/démontrais. Merci encore et bonne soirée :)

[annick]

Bonne soirée à toi aussi et ce fut un plaisir de bosser avec toi.