DM Algèbre, pgcd.

[Maeva 05]

Bonjour à tous :)

J'ai un DM d'algèbre à rendre pour vendredi, le problème est que je n'y comprends pas vraiment grand chose.. Et ça m'avancerait beaucoup si quelqu'un pouvait au moins me donner une piste pour la première question..

(Pour simplifier l'écriture du message, je mettrais X=alpha et Y=bêta).

Soit a et b des entiers.On note d=pgcd(a,b) et on introduit X, Y appartenant à Z tels que a=dX et b=dY. Le but de l'exercice est de calculer pgcd(a^3-b^3, (a-b)^3).

1. Montrer que a-b divise a^3-b^3.
2. Montrer que pgcd(a^3-b^3, (a-b)^3) = (a-b)d²pgcd(X²+XY+Y²,(X-Y)²)
3.a) Prouver que pgcd(X-Y, XY)=1
b) En déduire que pgcd(X²+XY+Y²,(X-Y)²) appartient à {1 , 3}, puis donner la condition sur X,Y permettant de séparer les deux cas.
4. Conclure.

Voilà..
Je vous remercie d'avance de vos éventuelles réponses..
Maeva :we:

[Nightmare]

Salut,

1.

2. Poser comme dans les hypothèses a=dX et b=dY et remarquer aussi que a^3-b^3 et (a-b)^3 sont tous les deux divisibles par (a-b)

3.a) Identité de Bezout, sachant quand même que X et Y sont premiers entre eux !

Je te laisse réfléchir par toi même à la suite.

[Maeva 05]

Merci de ton aide, je comprends mieux ce qui est demandé maintenant.

Par contre à la question 2, je n'arrive toujours pas à montrer l'égalité, et je ne sais pas comment me servir de "a^3-b^3 et (a-b)^3 sont tous les deux divisibles par (a-b)" ..

[Nightmare]

Reviens à la définition du PGCD : c'est le plus grand diviseur commun. Et il faut voir aussi une chose, c'est qu'un diviseur commun divise forcément le PGCD !

[Maeva 05]

Ca va faire plus d'une heure que j'essaie de comprendre, mais je n'y arrive absolument pas..

[Nightmare]

Ce n'est pourtant vraiment pas compliqué .

et

Donc déjà, cela permet de dire que

Ensuite en posant et , on a que et donc d (=PGCD(a,b) ) est un diviseur commun de a²+ab+b² et (a-b)² ce qui permet d'écrire encore une fois que

On a donc bien