Encore de l'arithmétique

[S.L]

Bonne chance

[Ben314]

Bon, j'ai déja n= -128, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 125
mais je n'ai pas fini de résoudre ...

[ffpower]

Je n'ai pas réfléchi sur le pourquoi ça se ramenait à une telle équation, mais en tout cas on peut résoudre cette dernière en bidouillant sur des congruences :
Si 5^a-2^b=3, et si b>1, alors modulo 4 ca fait 1=3 absurde
Si 5^a-2^b=-3, et si b>3 alors 5^a=-3 mod 16 or les puissances de 5 mod 16 sont 1,5 et 9..
( j ai prévenu que c était de la bidouille :we: )

[Ben314]

Je n'ai pas réfléchi sur le pourquoi ça se ramenait à une telle équation, mais en tout cas on peut résoudre cette dernière en bidouillant sur des congruences :
Si 5^a-2^b=3, et si b>1, alors modulo 4 ca fait 1=3 absurde
Si 5^a-2^b=-3, et si b>3 alors 5^a=-3 mod 16 or les puissances de 5 mod 16 sont 1,5 et 9..
( j ai prévenu que c était de la bidouille :we: )

Pour la "bidouille", de toute façon, ce type d'équation, ben je vois rien d'autre à faire à part sortir tout un ramdam sur les fractions continuées de ln(5)/ln(2) qui, souvent, ne mêne pas à grand chose (sauf à trouver rapidement quelques "grandes" solutions s'il y en a)

Par contre, il me semble bien qu'il y a une coquille car est une solution...
En fait, les puissances de 5 modulo 16 sont , , , -3 , ()

[ffpower]

flute, comme un boulet j'ai fait 5²=25=9 puis 9²=81=1..Bon bah je vais reréfléchir, mais je me sens moyen chaud pour regarder les puissances de 5 modulo 256..

[Ben314]

Si je me rapelle bien la théorie, c'est foutu dans le sens que, vu qu'il existe une puissance de 5 qui fait -3 modulo 2^4 alors, quelque soit la puissance de 2 fixée, il va exister une puissance de 5 qui fait -3 modulo cette puissance de 2 (sauf erreur, c'est lié a la nature des groupes multiplicatif des éléments inversibles de Z/p^kZ avec p premier : il y a une exeption pour p=2 et k=2, mas aprés, c'est "toujours pareil")

[ffpower]

En effet..Les maths sont souvent impitoyables..
PS : comment arrives tu à développer ln(5)/ln(2) en fraction continue? Je connais pas bien la théorie, mais j'ai l'impression que vu la tête du nombre, ca a pas l air évident..

[Imod]

Ce problème a été proposé sur le site animaths en 2005/2006 il a aussi été débattu sur le site les maths.net il y quelques temps , pas facile :lol3:

Imod

[Ben314]

En effet..Les maths sont souvent impitoyables..
PS : comment arrives tu à développer ln(5)/ln(2) en fraction continue? Je connais pas bien la théorie, mais j'ai l'impression que vu la tête du nombre, ca a pas l air évident..

Ben vu que la fraction n'est pas périodique, tout ce que j'en fait la plupart du temps, c'est de calculer les 5 ou 6 premières fractions pour voir s'il n'y aurait pas des solutions pas trop grandes.

Par exemple, ici, uniquement avec la calculette de Windows (mon ordi est encore en rade), je trouve [2,3,9,2,...] donc les premières fractions sont 2/1 ; 7/3 ; 65/28 ; ... ce qui t'incite à essayer 2^2-5^1 puis 2^7-5^3 puis 2^65-5^28... si tu veut avoir des différences "pas trop grandes".
Ca permet en seulement 2/3 "tests" de voir qu'il n'y a pas de solutions autres que 2^7-5^3 pour des puissance de 2 inférieures à une centaine...

[Ben314]

Ce problème a été proposé sur le site animaths en 2005/2006 il a aussi été débattu sur le site les maths.net il y quelques temps , pas facile :lol3:

Imod

Et il y a une solution "accessible" ?

[Zweig]

Oui,

http://www.animath.fr/old/tutorat/dossier_05065sol.pdf

[Ben314]

Oui,

http://www.animath.fr/old/tutorat/dossier_05065sol.pdf

ça, c'est l'archétype de ce que j'appelle une solution "non accessible" : pas de théorie, aucun fil conducteur et il faut se farcir la décomposition en nombres premiers de 5^8+1 : c'est des maths "boite noire" !!!

[Zweig]

Quel grincheux alors :ptdr:

[Imod]

Et il y a une solution "accessible" ?

Il y en a qui aiment pour épater la galerie !

Imod

[benekire2]

En effet la solution est très "bizarre" , vous avez regardé le problème 6 ?? :doh: