Encore un carré...

[emdro]

Dans un carré de côté 1, on choisit n points distincts tels que trois d'entre eux ne sont jamais alignés. Parmi tous les triangles ayant leurs sommets parmi ces n points, il en existe un (au moins) dont le périmètre est minimal.

Démontrer qu'il existe une constante réelle A telle que pour tout entier n, et pour tout choix de n points dans le carré, le périmètre minimal soit au plus . Donner une valeur numérique de la constante A.

[Imod]

Après la ligne polygonale dans le carré de côté 1 , le découpage en carré du même carré , le découpage en triangle ! Il a falloir envisager une rubrique : "A propos du carré de côté 1" :we:

Imod

[emdro]

J'aime ranger autant de choses dans un petit (?) carré... :happy2:

[alben]

Bonsoir,
Comment placer 3 ou 4 points dans un carré de telle sorte que le périmètre minimal des triangles formés soit le plus grand possible ?
Il me semble que c'est sur les sommets (avec 3 points le triangle isocéle dont le sommet est le milieu d'un coté est un peu plus petit). Dans les deux cas cela donne un périmètre de
pour 5 et plus n'a-t-on pas intérêt à chercher des triangles de même périmètre ?

[emdro]

Je ne sais pas si je t'ai bien compris, mais si tu cherches à trouver une répartition de n points tels que tous les triangles possibles ont le même périmètre, cela risque d'être sans issue! (euphémisme... :happy2: )

Evidemment, c'est assez naturel d'essayer de se débrouiller pour que la répartition soit la "plus régulière possible", histoire d'optimiser l'espace, et qu'ainsi, le périmètre minimal soit maximal... Je te laisse chercher dans cette voie.

[alben]

Oui, c'était idiot.
On peut prouver que le périmètre maximin décroit (au sens large) avec le nombre de points. Il semble évident que si on a n² points, la disposition régulière aux sommets de n carrés égaux maximise le périmètre mini, reste à s'en assurer

[emdro]

Avec ce raisonnement sur les n² points, on prouve que . Mais sinon?

[emdro]

La division avec 2m²+1 et 2(m+1)² associée au principe des tiroirs, c'est l'idée principale de l'exo.
:++: Bravo Rain' :++:

Reste à finaliser et à annoncer ton A.

Edit: L'existence de A est à portée de main.

[emdro]

donc

Je sais pas si ça sert à quelque chose encore.

Petite erreur de raisonnement:
ce n'est pas parce que x<B et x<A que B<A...

[emdro]

En fait il était question de démontrer l'existence de A, puis d'en donner une majoration. Quant à trouver le meilleur possible, on verra après!

Bonnes vacances, en tout cas, Rain' :we:

[emdro]

Je dirais .

Là non! Si tu prends n=4 avec les points au sommet du carré, le périmètre est
donc on doit quand même avoir

[emdro]

L'existence de A est claire?

Dans ce cas, ton A convient (le mien est deux fois plus petit...).

[emdro]

Tant qu'à prendre , autant prendre 4, qui est le périmètre du carré!

Voilà, c'est bon donc pour l'existence.

Après, le A peut être amélioré: en ne faisant pas de majoration, mais en étudiant ta fonction avec ton dénominateur en et en la comparant à .
Une bonne idée aussi est d'utiliser le fait que si n<9, le périmètre minimal est forcément inférieur à 4 (celui du carré).

Cela permet de descendre à A=12.

Bravo!

[emdro]

Oui! :happy2:

sans parler de la courbe de peano!

[alben]

Bonnes vacances Rain' (n'oublie pas ta pelle à pâtés de sable)
Bravo

[alben]

Bonjour,

En reprenant la méthode de Rain' et la remarque d'Emdro, on s'aperçoit que les cas les plus "défavorables" sont ceux où n est de la forme 2p². Le A correspondant est alors égal à . Cette quantité diminue avec p et les cas dépassant n=4 ne sont pas si nombreux : 17, 18, 5 , 6, 7, 8.
Avec 8 et le découpage de Rain', on a A=
Mais pour n allant de 5 à 8, il semble difficile de placer les points autrement que sur les sommets et au centre, ce qui donne un périmétre de
c'est à dire, pour n=8, A serait identique au cas n=4.
Finalement, reste n=17 et 18 (A=7,3) qui mériteraient d'être analysés plus finement.
Je pense que l'on devrait pouvoir montrer alors que , atteint pour n=4

[emdro]

Intéressant. J'essaie de continuer à réfléchir... :happy2:

[alben]

En fait, pour les cas 17 et 18, il suffit de diviser le carré en 4 carrés de coté 1/2, l'un des carrés contient au moins 5 points et le périmètre minimal est inférieur à ce qui donne pour 18 et moins pour 17. Ainsi A serait bien !

[emdro]

Not bad! comme disent les Canadiens... :++: