Droites d'Euler .

[amel62]

Partie A:
.
Soit AB un triangle quelconque. Soient A',B' et C' les milieux respectifs des segments [BC] [AC] ET [AB]
Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
1) Faire une figure ( pour la figure c'est bon)
2)Rappeler la définition du centre du cercle circonscrit . ( j'ai répondu : Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les sommets du triangle. Son centre est situé à l'intersection des médiatrices.)
3) Que reprèsente la droite (OA') pour le triangle ABC . (j'avais pensé à un des rayons mais c'est "pour le triangle ABC" )
O est sur les 3 médiatrices, A' est le milieu de [BC] dc est sur la médiatrice de [BC]: (OA') est dc la médiatrice de [BC] (et par suite (OA') est perp à (BC).
Soit H le point tel que (vecteur) OH=(vecteur)OA+(vecteur)OB+(vecteur)OC

4)Calculer (vecteur) OB+(vecteur)OC
A' est le milieu de [BC] dc OB+OC=2OA' (en vecteurs)
5)Démontrer que (vecteur) AH= 2(vecteur) OA'
AH=AO+OH=AO+(OA+OB+OC)=OB+OC dc =2OA' (en vecteur)
6)En déduire que les droites (AH) et (OA') sont parallèles
AH=2OA' les vecteurs AH et OA' st colinéaires et (AH)//(OA')
7)Que reprèsente la droite (AH) pour le triangle ABC?
(AH)//(OA') et (OA') perp à (BC) dc (AH) perp à (BC) dc (AH) hauteur issue de A
8)Compléter:
De même, on peut démontrer que les droites (BH) et (CH) sont aussi ..hauteurs..
9)Que reprèsente le point H pour le triangle ABC ?
H étant sur les 3 hauteurs est l'orthocentre de ABC
10) Placer le point H sur la figure .

Partie B:
Partie A:
Soit ABC un triangle quelconque.Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .Soit G le centre de gravité du triangle. Soit G' le symétrique du point G par rapport a A'. Soit H le point tel que OH=OA+OB+OC(en vecteurs)
1)faire la figure
2)Déterminer l nature du quadrilatère GBG'C
3)en se placant dans la triangle ACG' démontrer que G est le milieu de [AG']
4)En déduire que GA+GB+GC=0 (en vecteurs)

Partie C:
Soit ABC un triangle quelconque.
Soient A',B' et C' les milieux respectifs des segments [BC] [AC] ET [AB].Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .Soit G le centre de gravité du triangle ABC.Soit H le point tel que OH=OA+OB+OC(en vecteurs)
1) En utilisant la relation de chasles dans l'expression de la question B.4, démontrez que MA+MB+MC=3MG (en vecteurs)
2)Calculer 3MG-OH (en vecteurs)
3) en déduire que OH=3OG (vecteurs)
4)cas particuliers : le triangle ABC est equilateral

a)Démontrer que le point A appartient à la médiatrice du segment [BC]
b)En déduire que la médiatrice du segment [BC] et la hauteur du triangle ABC issue du sommet A sontn confondues
c)Que diredes points O et H?
d)En déduire que OG=0 (vecteurs)
e)Que dire des points O,H et G ?
(5)Que dire des points O,H et Gdans le cas ou le triangle n'est pas équilatéral ? (question 3) (ils sont certainement alignés)

[Ben314]

Salut,
Le A) est tout à fait O.K.
Où as-tu des difficultés ?

[amel62]

Pour la partie C .

[amel62]

J'ai beau chercher je ne réussi pas a répondre à la partie C