Egalité avec produit vectorielle

[Stringer]

Salut a tous, voila je bloque sur une question de mon DM :
il s'agit, en se servant de l'égalité suivante:



de montrer que :



Quelqu'un pourrait juste me donner une piste car que je ne vois même pas par ou commencer :triste:

[dibeteriou]

Le déterminant vaut :
*-* ce qui fait penser au membre de droite de la première égalité...

*-*=*d-*c)>==produit mixte de [b,a,d^c]=...

[Stringer]

Je n'ai pas encore vu le produit mixte, y'a possibilité de faire sans?

[dibeteriou]

Il faut utiliser la propriété :
(on fait des permutations circulaires des trois vecteurs), que tu as peut-être vu en cours.

[benekire2]

Sinon tu bourrine comme le bourrin , en développant tout selon les coordonnées de tes vecteurs ...

Cela dit je suis pas sûr de trouver une méthode tellement plus belle pour prouver la propriété du dernier message de Dib .. même si tu peut les utiliser librement. En fait je suis presque sûr que tu les as vues dans ton cours peut être écrit sous la forme [a,b,c] ou det(a,b,c)

[arnaud32]

comment as tu definit le produit vectoriel?
car c'est generalement sa definition dque de dire det(u,v,w)=(u*v).w
ou x.y est le produit scalaire et x*y le produit vectoriel.

[Stringer]

on a défini le produit vectoriel comme ca :

L'ensemble des vecteurs orthogonaux à vec(u) et vec(v) est une droite vectorielle dirigée par u^v.

on a vu aussi que si vec(u) et vec(v) sont 2 vecteurs unitaires et orthogonaux, u^v est l'unique vecteur tel que (u,v,u^v) forme une base direct ( on a utilisé Lagrange)

[arnaud32]

c'est assez facile de prouver det(u,v,w)=(u*v).w avec ta definition
car si w est dans vect(u,v) le determinent est nul et on a donc u*v qui est orthogonale a vect(u,v) ...

[benekire2]

Arnaud >> Dans le cours de géométrie de début d'année on définissais le produit vectoriel comme le fait stringer, et bien sûr il parrait plus naturel de le définir comme tu l'as fait , mais j'ai vu cette définition dans le cours d'algèbre linéaire la première fois.

[benekire2]

Cela dit en général on nous définissait le déterminant avec cette relation, parce que le déterminant on connait pas trop.

Après ben sûr tout est une question de définition, mais pour moi le plus simple ici c'est de définir produit scalaire canonique et produit vectoriel a l'aide des coordonnées des vecteurs i.e "tout cru et tout moche" et de définir le déterminant via cette relation (celle que tu as donné) on en déduit aussitôt l'expression très laide du déterminant et sa trilinéarité ainsi que ses symétries ( les formules de dibeteriou)