Groupe engendré

[crazymaths]

salut!
en fait, j'ai pas bien compris la notion du groupe engendré par un ensemble, et j'en ai un exercice
et j'ai pas su comment le résourdre, je vous serais trés reconnaissante si vous m'aidiez
voila l'exercice:
soit G={A} (un groupe monogène engendré par a). soit H un sous groupe de G.Montrer qu'il existe m appartient à N tel que H={A à la puissance de m}.

et merci d'avance pour votre aide!

[Ben314]

Salut
Dans un cas quelconque (donc pas forcément commutatif), le "sous groupe engendré par une partie A de G", c'est tout simplement le plus petit sous groupe contenant A (il existe car c'est l'intersection de tout les sous groupes contenant A)
En fait, c'est tout ce que tu peut écrire comme produit en ne prenant que des éléments de A et leurs inverses.
Un groupe monogène (i.e. engendré par un seul élémenent), ben c'est ce que l'on peut faire de plus simple comme groupe : c'est l'ensemble des a^n avec n dans Z (attention, il est possible que, pour un certain N on ait a^N=1 et dans ce cas le groupe est fini)

En ce qui concerne ta question, tu as un sous groupe H de G={a} donc il contient certains éléments parmis les a^n (n dans Z).
Existe t'il forcément un n>0 tel que a^n soit dans H ?
Si de tels n existent, on peut considérer le plus petit d'entre eux...

[crazymaths]

merci beaucoup Ben314!!
je vais relire ta reponse attentivement et essayer de la comprendre et puis resourdre mon exercice.
encore merci :happy2:

[Ben314]

De toute façon, par rapport à ton autre post sur les sous groupes de Z/nZ, c'est quasi la même chose (et une fois que tu aura vu les morphismes de groupes, ben tu verra que c'est exactement la même question...)