Probleme sur les produits scalaires

[rozie]

Bonjour,pouvez vous m'orienter sur cet exercice svp :

Partie A:

dans le plan on considère le cercle C de centre O et de rayon R . [PQ] est un diamètre de ce cercle .
1-exprimer , pour tout point M du plan , vecteurs MP.MQ en fonction de OM et de R.
-vecteurs MP.MQ est donc indépendant du diamètre [PQ]choisi.
-Ce réel s'appelle puissance du point M par rapport au cercle C.
-soit f la fonction qui , à tout point M du plan , associe le réel f (M)=vecteurs MP.MQ.
2-déterminer puis construire l'ensemble des points M du plan dans chacun des cas suivants:
2-a- f(M)=0
2-b- f(M)=-R^2
2-C- f(M)=-(3R^2)/4
3-on trace par M une droite quelconque qui coupe le cercle en A et B.
Démonter que vecteurs MP.MQ=MA.MB.
4-etudier le signe de vecteurs MA .MB suivant la position de M par rapport a C.


Partie B:

Le plan est reporté dans un repère orthonormé (o,i,j).On appelle C l'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l'équation x^2+y^2-4x-2y-11=0.
1) Prouver que C est un cercle .Préciser son centre O et son rayon R .Le construire.
2) Soit M de coordonnées (x,y). Exprimer, si [PQ] est un diamètre de C, f(M) = vecteurs MP.MQ en fonction de x et de y.
3)Déterminer puis construire sur la même figure, l'ensemble des points M dans chacuns des cas :
3a) f(M)=16
3b) f(M)=-16
3c) f(M)= 9

voila ce que j'ai cherchée :
Partie A:
1) j'ai utilisé plusieurs formules dont le théoreme d'al-kashi pour trouver MQ^2 et MP^2 en fonction de OM et R. Puis J'ai essayé (xM-a)^2+(yM-b)^2=R^2.
Mais je n'ai pas trouver MP.MQ en fonction de OM et de R.
Partie B :
1) l'équation d'un cercle étant (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 on a : x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-R^2)=0 or on sait que x^2+y^2-4x-2y-11=0.
donc C est bien un cercle avec a=2, b=1 et R=4
2) f(M)= vecteurs MP.MQ= (x-xp)(x-xq)+(y-yp)(y-yq)

Merci de m'aider

[rene38]

Bonjour

A.1. Décompose les vecteurs et en utilisant l'égalité de Chasles avec O comme point intermédiaire :
...

[dom85]

bonjour,

au 2)b) est-ce bien f(M)=-R
ou f(M)=-R²

[rene38]

bonjour,

au 2)b) est-ce bien f(M)=-R
ou f(M)=-R²

Certainement f(M)=-R² pour des raisons d'homogénéité des dimensions :
au signe près, f(M) est assimilable à une aire

[rozie]

oui, désolée , c'est bien f(M)=-R^2 et f(M)=-3R^2/4

[rozie]

voila ce que j'ai:
Partie A:
1)[PQ]diametre donc OP +OQ=0 (vecteurs)
MP.MQ =(MO+OP).(MO+OQ)
=MO²+MO.OQ+OP.MO +OP.OQ
=MO²+ MO(OP+OQ) -R²
=MO² -R²

2)a)f(M)=0
OM²-R²=0
OM=R c'est le cercle C

2)b)f(M)=-R²
OM²-R²=-R²
OM²=R²-R²=0
il n'y a pas d'ensemble?

2)c)f(M)=-3R²/4
OM²-R²=-3R²/4
OM²=R²-3R²/4
OM²=R²/4
l'ensemble est le cercle de centre O de rayon R/2

[rene38]

2)b)f(M)=-R²
OM²-R²=-R²
OM²=R²-R²=0
il n'y a pas d'ensemble?

Si : un ensemble qui contient un seul point, O.

[rozie]

ah ,merci.Et pour le 3) je ne comprend pas comment faire.
merci de m'aider.

[rene38]

ah ,merci.Et pour le 3) je ne comprend pas comment faire.
merci de m'aider.

Comme pour le 1) : décompose avec le point O.

[rozie]

bonjour, j'ai essayé d'inseré A', le point diamétralement opposé à A, dans MP.MQ puis MA.MB, mais je trouve MB et non 0 quand je fais MP.MQ-MA.MB(vecteurs) .

Voici mes calculs:
soit A' le point diametralaement opposé a A MP.MQ = (MA'+A'P). ( MA'+A'Q)
=MA'^2 +MA'.A'Q+A'P.MA'+A'P.A'Q
= MA'^2 +MA'(A'Q+A'P)+A'P.A'Q
=MA'^2 +MA'(A'Q+A'P)
=MA'^2+MA'.AA'

Ensuite, MA.MB=(MA'+A'A).(MA'+A'B)
=MA'^2+MA'.A'B+A'A.MA'+A'A.A'B
=MA'^2+MA'(A'B+A'A)+A'A.A'B
=MA'^2+MA'(A'B+A'A)+(A'B+BA).A'B
=MA'^2+MA'(A'B+A'A)

Merci de m'aider.